计算题(2024年理工数学Ⅰ

已知有向曲线L为球面x²+y²+z²=2x与平面2x-z-1=0交线,从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,计算曲线积分∫L(6xyz-yz²)dx+2x²zdy+xyzdz.

答案解析

解答过程见word版

讨论

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求:F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段(t:0→π/4)所作的功.

设曲面:z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2,柱壁面:y=x2-5/9,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面:z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2,柱壁面:9y-9x2+5=0,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

设平面L是下半圆周y=-,则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1上第一卦限的点M(ξ,η,ζ),问当ξ,η,ζ取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,共中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=0,则f(x)等于【 】

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).