大学数学-考研试题(华中科技大学 2023年常数项级数的概念与性质)

证明题（2023年华中科技大学）

设α,β是任意非零实数，对正整数n，证明：

=

其中=α(α-1)⋯(α-k+1)/k!,=1.

答案解析

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讨论

大学数学

对任意的x>0,y∈R，证明：xy≤xlnx-x+ey.

设p(x)=x-x²，记[x]为取整函数，即不超过x的最大整数，又设f(x)是二阶连续可微函数，对任意非负整数k，证明：f(x)dx=(f(k+1)+f(k))/2-1/2 f''(x)p(x-[x]) dx

(1)证明：方程(x+1)x+1=exx有唯一正根.(2)若β为(1)中方程的根，计算极限(β+1/n)(β+2/n)⋯(β+n/n).

设I(x0,x1 )=∬Σ/dydz，其中Σ为抛物面x=y²+z²与平面x=x0,x=x1所围立体表面的内侧，α>0,x1>x0>0，求极限I(x0,x1).

判断积分e-x²cosxdx的正负，并证明你的结论.

计算e-1/4s s-3/2e-s ds

求极限⁡(-cotx/e-2x +1/e-xsin²⁡x -1/x²)

设函数f∈C[0,1]，记In=f(tn )dt(n≥1)证明：(1) In 存在，并且等于f(1).(2) 若f'(0)存在，则In=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，过点A(0,f(0))与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f'' (ξ)=0.

讨论级数(-1)n/(1+x²)n 在(-∞,+∞)上的收敛性和一致收敛性.

常数项级数的概念与性质

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

求级数1/((n2-1)2n)的和.

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

求级数(n2+1)/n!的和.

设f:[0,1]→(0,+∞)为连续函数，常数a≥1.证明：=a+1.

设f(x)在(-∞,+∞)上可导，且对任意实数x有f(x)=f(x+2k)=f(x+b)，其中k为正整数，b为正无理数，用Fourier级数理论证明f(x)为常数.

无穷级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

求级数sinnx/n!=________.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

设函数f1 (x)在[0,1]上连续，K(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续，对任意x∈[0,1]，定义fn+1(x)=K(x,y) fn (y)dy,n=1,2,⋯证明：函数列{fn (x)}在[0,1]上一致收敛于0.

设f(n)=a0+ak/nk ，且满足|a_k |≤M，这里n,k均为正整数，试证：数项级数f(n)收敛的充要条件为a0=a1=0.