大学数学-考研试题(同济大学 2022年常数项级数的审敛法)

问答题（2022年同济大学）

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

答案解析

由公式1+1/2+⋯+1/n=C+lnn+εn(C为欧拉常数，εn→0，当n→∞时)得⁡(1+1/2+⋯+1/n)/(C+lnn)=1故原级数与(C+lnn)/(n(n+2))的敛散性相同.显然，C/(n(n+2))收敛，而lnn/(n(n+2))与lnx/(x(x+2)) dx有相同的敛散性.又lnx/(x(x+2)) dx与lnx/x2 dx有敛散性相同，使用分部积分法求积分得：lnx/x2 dx=1.所以，原级数收敛.设S=(1+1/2+⋯+1/n)/n(n+2) ...

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讨论

大学数学

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

常数项级数的审敛法

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

设常数λ>0，且级数an2 收敛，则级数(-1)n |an |/【】

设f(x)在x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且f(x)/x=0，证明级数f(1/n)绝对收敛.

设un=(-1)n ln⁡(1+1/√n)，则级数【】

设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【】

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an )(n=1,2,…)，证明：(1) an 存在；(2)级数(an/an+1 -1)收敛.

设正向数列{an}单调减少，且(-1)nan 发散，试问级数(1/(an+1))n 是否收敛？并说明理由.

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

无穷级数

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.