大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1997年函数图形的描绘)

填空题（1997年理工数学Ⅰ）

对数螺线ρ=e^θ在点(ρ,θ)=(e^π/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.

答案解析

x+y=e^π/2

讨论

大学数学

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小（其中a>0,b>0）.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

函数图形的描绘

f(x)=1/3 x3+1/2 x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴的交点坐标是【】

作函数y=6/(x2-2x+4)，并填写表.单调增加区间：单调减少区间：极值点：极值：凹区间：凸区间：拐点：渐近线：

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数：y=f(x),z=g(x),t=h(x)，其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出： (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式（解析式）：y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令e10/3 - 1=2a，可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示：①首先，寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=?[其中，f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”：xl'=?[其中，f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后，考察函数f(x)的渐近性质.③最后，利用①②的结果，便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意：“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用（分组分解法）因式分解后再作求解].

当x>0时，曲线y=xsin 1/x【】

理工数学Ⅰ函数图形的描绘

曲线y=xln(e+1/(x-1))的渐近线方程为【】

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

中值定理与导数的应用

已知二元函数z=z(x,y)：z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3]，试求：二元函数z=z(x,y)在正方形区域：D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?，并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问这两段铁丝长各为多少时，正方形与圆的面积之和为最小？

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【】

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

已知 =c（c≠0），求k和c.

设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】