大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年函数图形的描绘)

填空题（1990年理工数学Ⅱ）

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

答案解析

y=√3x-1

讨论

大学数学

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

设ξ,η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P{ξ=i}=1/3,i=1,2,3，又设X=max⁡(ξ,η),Y=min⁡(ξ,η).(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律；(2)求随机变量X的数学期望E(X).

已知二次型f(x1,x2,x3 )=5x12+5x22+cx32-2x1 x2+6x1 x3-6x2 x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f(x1,x2,x3 )=1表示何种二次曲面.

设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

求级数1/((n2-1)2n)的和.

设变换可把方程6 ∂2z/∂x2 +∂2z/∂x∂y-∂2z/∂x∂y=0化简为∂2z/∂u∂v=0，求常数a，其中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数.

计算曲面积分∬S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2 (0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.

函数图形的描绘

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数：y=f(x),z=g(x),t=h(x)，其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出： (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式（解析式）：y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令e10/3 - 1=2a，可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示：①首先，寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=?[其中，f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”：xl'=?[其中，f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后，考察函数f(x)的渐近性质.③最后，利用①②的结果，便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意：“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用（分组分解法）因式分解后再作求解].

当x>0时，曲线y=xsin 1/x【】

理工数学Ⅰ函数图形的描绘

f(x)=1/3 x3+1/2 x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴的交点坐标是【】

作函数y=6/(x2-2x+4)，并填写表.单调增加区间：单调减少区间：极值点：极值：凹区间：凸区间：拐点：渐近线：

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

曲线y=xln(e+1/(x-1))的渐近线方程为【】

对数螺线ρ=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

中值定理与导数的应用

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

已知二元函数z=z(x,y)：z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3]，试求：二元函数z=z(x,y)在正方形区域：D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?，并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

求正的常数a与b，使等式1/(bx-sinx)t2/dt=1成立.

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问这两段铁丝长各为多少时，正方形与圆的面积之和为最小？

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】