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考研2022年理工数学Ⅰ( )
设X1,X2,…,Xn为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，Y1,Y2,…,Ym为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中θ(θ>0)是未知参数.利用样本X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Ym求θ的最大似然估计量θ ̂，并求D(θ ̂).
由题知，X的概率密度为fX (x,θ)=
,
Y的概率密度为fY (y,θ)=
.
令L=
fX (xi,θ)
fY (yj,θ) =1/θ e-xi/θ 1/2θ e-yj/2θ (xi>0,yj>0,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m).
则lnL=
(-lnθ-xi/θ)+
(ln 1/2-lnθ-yj/2θ).
∴dlnL/dθ=(-1/θ+xi/θ2 )+(-1/θ+yj/(2θ2 ))=-(m+n)/θ+xi/θ2 +yj/(2θ2 )=0
⟹θ ̂=1/(m+n)(xi +1/2 yj ).
∴θ的最大似然估计量为θ ̂=1/(m+n)(xi +1/2 yj ).
D(θ ̂ )=1/(m+n)2 (DXi+1/4DYj )=1/(m+n)2 (nDX+1/4 mDY)
=1/(m+n)2 (nθ2+1/4 m4θ2 )=θ2/(m+n).
考研1997年理工数学Ⅰ( )
设总体X的概率密度为
f(x)=
,其中θ>-1是未知参数.
X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.
总体X的数学期望为
E(X)=
xf(x) dx=
(θ+1) xθ+1 dx=(θ+1)/(θ+2)∙ xθ+2 
=(θ+1)/(θ+2).
令E(X)=X ̅=(θ+1)/(θ+2)，解得θ=(2X ̅-1)/(1-X ̅ ),
因此θ的矩法估计量为 θ ̂=(2 1/n
Xi-1)/(1-1/n Xi ).
设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值，侧似然函数为
L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ)=
f(xi )=
=
,
当0<xi<1(i=1,…,n)时，L(θ)>0，且lnL(θ)=nln(θ+1)+θlnxi .
令dlnL(θ)/dθ=n/(θ+1)+lnxi =0，解得θ=-1-n/(lnxi ).
故θ的最大似然估计为θ ̂=-1-n/(lnXi ).
考研2021年高等数学三( )
总体X的概率分布为P{X=1}=(1-θ)/2,P{X=1}=P{X=3}=(1+θ)/4，利用来自总体X的样本观察值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为【 】
A、1/4
B、3/8
C、1/2
D、5/8
考研2021年理工数学Ⅰ( )
设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·
Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅，则【 】
A、θ ̂是θ的无偏估计，D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22)/n
B、θ ̂不是θ的无偏估计，D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22)/n
C、θ ̂是θ的无偏估计，D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22 - 2ρσ1σ2)/n
D、θ ̂不是θ的无偏估计，D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22 - 2ρσ1σ2)/n