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考研2022年理工数学Ⅰ( )

设X1,X2,…,Xn为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,Y1,Y2,…,Ym为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中θ(θ>0)是未知参数.利用样本X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Ym求θ的最大似然估计量θ ̂,并求D(θ ̂).

由题知,X的概率密度为fX (x,θ)=,

Y的概率密度为fY (y,θ)=.

令L=fX (xi,θ)fY (yj,θ) =1/θ e-xi/θ  1/2θ e-yj/2θ (xi>0,yj>0,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m).

则lnL=(-lnθ-xi/θ)+(ln 1/2-lnθ-yj/2θ).

∴dlnL/dθ=(-1/θ+xi2 )+(-1/θ+yj/(2θ2 ))=-(m+n)/θ+xi2 +yj/(2θ2 )=0

⟹θ ̂=1/(m+n)(xi +1/2 yj ).

∴θ的最大似然估计量为θ ̂=1/(m+n)(xi +1/2 yj ).

D(θ ̂ )=1/(m+n)2  (DXi+1/4DYj )=1/(m+n)2 (nDX+1/4 mDY) 

=1/(m+n)2  (nθ2+1/4 m4θ2 )=θ2/(m+n).

考研1997年理工数学Ⅰ( )

设总体X的概率密度为

f(x)=,其中θ>-1是未知参数.

X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.

总体X的数学期望为

E(X)=xf(x) dx=(θ+1) xθ+1  dx=(θ+1)/(θ+2)∙ xθ+2 =(θ+1)/(θ+2).

令E(X)=X ̅=(θ+1)/(θ+2),解得θ=(2X ̅-1)/(1-X ̅ ),

因此θ的矩法估计量为 θ ̂=(2 1/nXi-1)/(1-1/n Xi ).

设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的一组观测值,侧似然函数为

L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ)=f(xi )= 

=,

当0<xi<1(i=1,…,n)时,L(θ)>0,且lnL(θ)=nln(θ+1)+θlnxi .

令dlnL(θ)/dθ=n/(θ+1)+lnxi =0,解得θ=-1-n/(lnxi ).

故θ的最大似然估计为θ ̂=-1-n/(lnXi ).

考研2021年高等数学三( )

总体X的概率分布为P{X=1}=(1-θ)/2,P{X=1}=P{X=3}=(1+θ)/4,利用来自总体X的样本观察值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为【 】

A、1/4

B、3/8

C、1/2

D、5/8

1/4

考研2021年理工数学Ⅰ( )

设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ121222;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅,则【 】

A、θ ̂是θ的无偏估计,D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22)/n

B、θ ̂不是θ的无偏估计,D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22)/n

C、θ ̂是θ的无偏估计,D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22 - 2ρσ1σ2)/n

D、θ ̂不是θ的无偏估计,D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22 - 2ρσ1σ2)/n

θ ̂是θ的无偏估计,D(θ ̂ ) = (σ12 + σ22 - 2ρσ1σ2)/n