大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年矩阵的特征值与特征向量)

问答题（2025年理工数学Ⅰ）

设矩阵A=，已知1是A的特征多项式的重根.

(1)求a的值；

(2)求所有满足Aα=α+β,A²α=α+2β的非零列向量α,β.

答案解析

解答过程见word版

讨论

大学数学

设Σ是由直线绕直线 (t为参数)旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x+y+z=0与x+y+z=1之间部分的外侧，计算曲面积分∬Σ1xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy.

设函数f(x)在区间(a,b)内可导，证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：对(a,b)内任意的x1,x2,x3，当x1<x2<x3时，(f(x2 )-f(x1))/(x2-x1 )<(f(x3 )-f(x2))/(x3-x2 )

已知函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数，记g(x,y)=f(x/y)，若g(x,y)满足：x²(∂²g)/(∂x² )+xy (∂²g)/∂x∂y+y²(∂²g)/(∂y² )=1，且g(x,x)=1, ∂g/∂x|(x,x)=2/x，求f(u).

计算1/((x+1)(x²-2x+2)) dx.

设A,B为两个不同随机事件，且相互独立，已知P(A)=2P(B),P(A∪B)=5/8，则A,B中至少有一个发生的条件下，A,B中恰好有一个发生的概率为______.

设矩阵A=，若方程组A²X=0与AX=0不同解，则a-b=______.

已知有向曲线L是沿抛物线y=1-x²从点A(1,0)到B(-1,0)的一段，则曲线积分∫L(y+cosx)dx+(2x+cosy)dy=______.

已知函数v(x,y,z)=xy²z³，向量n→=(2,2,-1)，则 ∂v/(∂n)|(1,1,1)=______.

已知函数f(x)=的傅里叶级数为bn sinnπx,S(x)为bn sinnπx的和函数，则S(-7/2)=______.

(xx-1)/(lnx∙ln⁡(1-x))=______.

矩阵的特征值与特征向量

设A，B为2阶矩阵，且AB = BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的【】

设A,B都为4阶复方阵，则A与B相似当仅当A与B有同的特征多项式，且每个特征值的几何重数(即对应特征子空间的维数)也相同.

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则A2+4A-1的特征值=________.

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

特征值与正交计算

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

任意置换方阵可复相似于对角阵。

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.