大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年函数的单调性)

问答题（2025年理工数学Ⅰ）

设函数f(x)在区间(a,b)内可导，证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：对(a,b)内任意的x₁,x₂,x₃，当x₁<x₂<x₃时，(f(x₂ )-f(x₁))/(x₂-x₁ )<(f(x₃ )-f(x₂))/(x₃-x₂ )

答案解析

解答过程见word版

讨论

函数的单调性

设函数f(x)为(a,b)上的凸函数，即∀x1,x2∈(a,b)以及λ∈(0,1)，有f(λx1+(1-λ) x2 )≤λf(x1 )+(1-λ)f(x2)证明：(1)对∀x∈(a,b)，左右导数f-' (x),f+' (x)均存在，且f-' (x)≤f+' (x)，(2) f-' (x),f+' (x)均在(a,b)上单调递增.

对任意的x>0,y∈R，证明：xy≤xlnx-x+ey.

证明：2n/(2n+1)≤(1+1/n)n/e≤(2n+1)/(2n+2)(n≥1)

设x>0,y>0，证明：xy-ex-1≤ylny

讨论方程(lnx)²-2lnx+2x+k=0的实根的个数，其中k是常数.

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

曲线的凸凹性

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.

设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【】

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.

求函数f(x)=x2/(1+x2 )的极值与拐点，并求拐点处的切线方程.

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x)，且在(a,b)内f''(x)>0，证明：对于任意两点x1,x2∈(a,b)，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

中值定理与导数的应用

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，过点A(0,f(0))与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f'' (ξ)=0.

(1)证明：方程(x+1)x+1=exx有唯一正根.(2)若β为(1)中方程的根，计算极限(β+1/n)(β+2/n)⋯(β+n/n).