竞赛题1992年北京市( )    

已知 fn(x)=

求证:(1)对于任何自然数n,方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根;

(2)设xn∈(0,)满足fn(xn)=,则.

(1)已知fn(x)=1-(1-cosx)n∈C[0,],且fn(0)=1,fn()=0,则由介值定理知,对于∈(0,1),存在xn∈(0,),使得fn(xn)=,又(x)=-n(1-cosx)n-1sinx<0,x∈(0,

因此fn(x)在(0,)上严格递减,故xn是惟一存在的。

(2)由fn(arccos)=1-,得

故存在正整数N,当n>N时,有fn(arccosimg13.png)>= fn(xn)

由于fn(x)严格递减,所以arccosimg13.png<xn<.

令n→∞,则arccosimg13.png

应用夹逼准则可得.

竞赛题2011年浙江省( )    

证明:[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解,其中[x]表示不大于x的最大整数.

令 f(x)=x3-x2+[x2]-[x3]

由于2<<<3,3=<<4,故当x∈[]时,[x2]=2,[x3]=3,于是

f(x)=x3-x2+2-3 = x3-x2-1

显见f(x)在[]上连续,由于

f()=2-< 0,f() = 2.9 - >0

应用零点定理,必存在ξ∈[,],使得f(ξ)=0.

由于[] ⊂(1,2),故ξ∈(1,2),即f(x)=0至少有一个非零整数解,于是[x3]+x2=[x2]+x3至少存在一个非整数解。

竞赛题1992年北京市( )    

设函数f(x)在(0,1)上有定义,且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的,求证:f(x)在(0,1)上连续.

对∀x0∈(0,1),证明f(x)在x0的连续性性,首先考虑右连续

当0<x0<1时,由于e-f(x)单调递增,故e-f(x0)≤e-f(x),可知

f(x0)≥f(x)

又因为exf(x)单调递增,故ex0f(x0)≤exf(x),得

ex0-xf(x0)≤f(x)≤f(x0)

在上式中令x→x0+,由夹逼准则知f(x)→f(x0) (x→x0+),即f(x)在x0右连续,同理可得其左连续性。

竞赛题1998年江苏省( )    

img01.png|sin(πimg03.png)|.

因为

|sin(πimg03.png)|=|sin[nπ+(img03.png-n)π]|

=|sinnπ●cos(img03.png-n)π+cosnπ●sin(img03.png-n)π|

=|0+(-1)nsin(img03.png-n)π|=|sin(img03.png-n)π|

=|sinimg05.pngπ|=sinimg07.png

所以

img01.png|sin(πimg03.png)|=img01.pngsinimg07.png=sin(π/2)=1

竞赛题1996年南京大学( )    

设函数f(x)在x=a可导,且f(a)≠0,则img01.png=

记u(n)=,则=0,应用关于e的重要极限公式,有

==