（1）已知f_n(x)=1-(1-cosx)ⁿ∈C[0,]，且f_n(0)=1，f_n()=0，则由介值定理知，对于∈（0，1），存在x_n∈（0，），使得f_n(x_n)=，又(x)=-n(1-cosx)^n-1sinx<0，x∈（0，）

因此f_n(x)在（0，）上严格递减，故x_n是惟一存在的。

（2）由f_n(arccos)=1-，得

故存在正整数N，当n>N时，有f_n(arccos)>= f_n(x_n)

由于f_n(x)严格递减，所以arccos<x_n<.

令n→∞，则arccos → ，

应用夹逼准则可得.

令 f(x)=x³-x²+[x²]-[x³]

由于2<<<3，3=<<4，故当x∈[，]时，[x²]=2，[x³]=3，于是

f(x)=x³-x²+2-3 = x³-x²-1

显见f(x)在[，]上连续，由于

f()=2-< 0，f() = 2.9 - >0

应用零点定理，必存在ξ∈[，]，使得f(ξ)=0.

由于[，] ⊂（1，2），故ξ∈（1，2），即f(x)=0至少有一个非零整数解，于是[x³]+x²=[x²]+x³至少存在一个非整数解。

对∀x₀∈(0,1)，证明f(x)在x₀的连续性性，首先考虑右连续

当0<x₀<1时，由于e^-f(x)单调递增，故e^-f(x0)≤e^-f(x)，可知

f(x₀)≥f(x)

又因为e^xf(x)单调递增，故e^x0f(x₀)≤e^xf(x)，得

e^x0-xf(x₀)≤f(x)≤f(x₀)

在上式中令x→x₀⁺，由夹逼准则知f(x)→f(x₀) （x→x₀⁺），即f(x)在x₀右连续，同理可得其左连续性。

因为

|sin(π)|=|sin[nπ+(-n)π]|

=|sinnπ●cos(-n)π+cosnπ●sin(-n)π|

=|0+(-1)nsin(-n)π|=|sin(-n)π|

=|sinπ|=sin

所以

|sin(π)|=sin=sin(π/2)=1

记u(n)=，则=0，应用关于e的重要极限公式，有

==