已知函数f(x)在[a,+∞)上连续,且f(x)存在,证明:
(1)函数f(x)有界;
(2)存在ξ∈[a,+∞),使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.
(1)由已知条件,可设f(x)=A,根据极限的定义,对于给定的ε0=1,∃M>0,使得当x>M>a时,有|f(x)-A|<ε0=1,即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|A|+1,所以f(x)在(M,+∞)上有界;
又因f(x)在[a,M]上连续,则f(x)在[a,M]上有界;
综上,f(x)在[a,+∞)上有界.
(2)①若对∀x∈[a,+∞),f(x)≡A,结论成立.
②若∃x0∈[a,+∞),使得f(x0 )<A,
由极限保号性,∃M1>x0,对∀x>M1,有f(x)>f(x0).
在[a,M1]上,f(x)连续,故f(x)在[a,M1]上有最小值,记为f(ξ)=m.
而在(M1,+∞)上,f(x)>f(x0 )≥m=f(ξ).
综上,f(ξ)也是[a,+∞)上f(x)的最小值.
同理可证最大值的情况.
已知函数f(x)在(0,1)上连续,且f(1)=3ex-1f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)+f'(ξ)=0.
设F(x)=ex-1 f(x),则F' (x)=ex-1 f(x)+ex-1 f' (x)=ex-1 [f(x)+f' (x)]
F(1)=e0 f(1)=f(1)=3ex-1 f(x)dx=3
F(x)dx=3∙1/3∙F(η)=F(η),η∈(0,1/3)
即F(1)=F(η),η∈(0,1/3),根据Roller定理,∃ξ∈(η,1)⊂(0,1),使得
F' (ξ)=eξ-1 [f(ξ)+f' (ξ)]=0⟹f(ξ)+f' (ξ)=0
已知二元函数f(x,y)=.
(1)求fx(0,y);
(2)证明:fxy(0,0)=-1.
(1)当y=0时,fx (0,0)=(f(x,0)-f(0,0))/x=(0-0)/x=0,
当y≠0时,fx (0,y)=(f(x,y)-f(0,y))/x=
=-y.
∴fx (0,y)=.
(2) fxy (0,0)=(fx (0,y)-fx (0,0))/y=
(-y-0)/y=-1.
已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .
(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数;
(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .
(1) ρ=
=
=1,
所以,收敛半径R=1.
当x=1时,(-1)n n(n+1)发散,
当x=-1时,n(n+1)发散,
所以,级数的收敛区间为(-1,1).
令x=-t,有:
(-1)n n(n+1) xn =
n(n+1) tn =t(
tn+1 )''
=t∙(t2/(1-t))''=2t/(1-t)3 =(-2x)/(1+x)3
(2)令x=1/4,有:
(-1)n n(n+1)/4n =(-2∙1/4)/(1+1/4)3 =-32/125
已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an ),证明:
(1)数列{an }收敛;
(2) (an/an+1 -1) 收敛.
(1)由已知,an>0,an+1=1/2 (an+1/an )≥1/2∙2=1,所以,数列{an }有下界,
又an+1-an=1/2 (an+1/an )-an=1/2∙(1-an2)/an ≤0,即an+1≤an,
∴数列{an }单调下降,且有下界,故收敛.
(2)由(1)知,数列{an }单调下降,
所以,an/an+1 ≥1,即an/an+1 -1≥0,级数为正项级数,故只需证明它的部分和Sn有界即可.
Sn=(ak/ak+1 -1)=
(ak-ak+1)/ak+1 ≤
(ak-ak+1 ) =a1-an+1≤a1=2
所以,部分和有界,级数收敛.