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考研2022年中国科学技术大学( )

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY),其中S∈R2×2.

(1)求所有S,使得ρ是R2×2上的内积;

(2)求所有S,使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

考研2022年中国科学技术大学( )

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基,V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明:A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

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设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明:存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J,其中J=是n阶Jordan块.

考研2022年中国科学技术大学( )

设A,B都是n阶复方阵,C=A+B,则det(C-AB)=det(C-BA).

考研2022年中国科学技术大学( )

设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.