设实线性空间R^2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(X^T SY)，其中S∈R^2×2.

(1)求所有S，使得ρ是R^2×2上的内积;

(2)求所有S，使得A(X)=X^T是内积空间(R^2×2,ρ)上的正交变换.

设α₁,…,α_n和β₁,…,β_n是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个α_i映成β_i,i=1,…,n.证明：A在α₁,…,α_n下的矩阵和在β₁,…,β_n下的矩阵相等.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).

设A是n维线性空间V的线性变换，则V=I_mA⊕KerA.