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考研2023年东北师范大学( )

证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线,且同族的全体直母线平行于同一个平面.

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设函数f:R3→R,f(M)=Ax+By+Cz+D,其中A,B,C,D是不全为零的实数,M(x,y,z)∈R3.证明:如果三点M0,M1,M2共线,且(M1 M0 ) ̅=λ(M0 M2 ) ̅,λ∈R,λ≠-1,那么

f(M0 )=(f(M1 )+λf(M2))/(1+λ)

考研2023年东北师范大学( )

在直角坐标系下,已知一点M0 (1,2,0)和一条直线L:,求M0到L的距离,并写出过M0且与L垂直相交的直线方程.

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设V是n维线性空间,φ为V上的线性变换,且φ的特征多项式为

f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m21≠λ2)

其中m1+m2=n.

(1)证明:Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间,其中E是恒等变换;

(2)证明:V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

考研2023年东北师范大学( )

设V是欧氏空间,W是V的子空间,V中的向量α不在W中,问是否存在α0∈W,使得α-α0与W的任意向量都正交?如果不存在,举出例子;如果存在,说明理由并讨论其唯一性.