(1)由已知条件，可设f(x)=A，根据极限的定义，对于给定的ε₀=1,∃M>0，使得当x>M>a时，有|f(x)-A|<ε₀=1，即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|A|+1，所以f(x)在(M,+∞)上有界；

又因f(x)在[a,M]上连续，则f(x)在[a,M]上有界；

综上，f(x)在[a,+∞)上有界.

(2)①若对∀x∈[a,+∞),f(x)≡A，结论成立.

②若∃x₀∈[a,+∞)，使得f(x₀ )<A，

由极限保号性，∃M₁>x₀,对∀x>M₁，有f(x)>f(x₀).

在[a,M₁]上，f(x)连续，故f(x)在[a,M₁]上有最小值，记为f(ξ)=m.

而在(M₁,+∞)上，f(x)>f(x₀ )≥m=f(ξ).

综上，f(ξ)也是[a,+∞)上f(x)的最小值.

同理可证最大值的情况.

设F(x)=e^x-1 f(x)，则F' (x)=e^x-1 f(x)+e^x-1 f' (x)=e^x-1 [f(x)+f' (x)]

F(1)=e⁰ f(1)=f(1)=3e^x-1 f(x)dx=3F(x)dx=3∙1/3∙F(η)=F(η),η∈(0,1/3)

即F(1)=F(η),η∈(0,1/3)，根据Roller定理，∃ξ∈(η,1)⊂(0,1)，使得

F' (ξ)=e^ξ-1 [f(ξ)+f' (ξ)]=0⟹f(ξ)+f' (ξ)=0

(1)当y=0时，f_x (0,0)=(f(x,0)-f(0,0))/x=(0-0)/x=0，

当y≠0时，f_x (0,y)=(f(x,y)-f(0,y))/x==-y.

∴f_x (0,y)=.

(2) f_xy (0,0)=(f_x (0,y)-f_x (0,0))/y=(-y-0)/y=-1.

(1) ρ=⁡==1,

所以，收敛半径R=1.

当x=1时，(-1)ⁿ n(n+1)发散，

当x=-1时，n(n+1)发散，

所以，级数的收敛区间为(-1,1).

令x=-t，有：

(-1)ⁿ n(n+1) xⁿ =n(n+1) tⁿ =t(tⁿ⁺¹ )''

=t∙(t²/(1-t))''=2t/(1-t)³ =(-2x)/(1+x)³ 

(2)令x=1/4，有：

(-1)ⁿ n(n+1)/4ⁿ =(-2∙1/4)/(1+1/4)³ =-32/125

(1)由已知，a_n>0,a_n+1=1/2 (a_n+1/a_n )≥1/2∙2=1，所以，数列{a_n }有下界,

又a_n+1-a_n=1/2 (a_n+1/a_n )-a_n=1/2∙(1-a_n²)/a_n ≤0，即a_n+1≤a_n，

∴数列{a_n }单调下降，且有下界，故收敛.

(2)由(1)知，数列{a_n }单调下降，

所以，a_n/a_n+1 ≥1，即a_n/a_n+1 -1≥0，级数为正项级数，故只需证明它的部分和S_n有界即可.

S_n=(a_k/a_k+1 -1)=(a_k-a_k+1)/a_k+1 ≤(a_k-a_k+1 ) =a₁-a_n+1≤a₁=2

所以，部分和有界，级数收敛.