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考研2022年北京理工大学( )

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续,且lim x->+∞f(x)存在,证明:

(1)函数f(x)有界;

(2)存在ξ∈[a,+∞),使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

(1)由已知条件,可设lim x->+∞f(x)=A,根据极限的定义,对于给定的ε0=1,∃M>0,使得当x>M>a时,有|f(x)-A|<ε0=1,即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|A|+1,所以f(x)在(M,+∞)上有界;

又因f(x)在[a,M]上连续,则f(x)在[a,M]上有界;

综上,f(x)在[a,+∞)上有界.

(2)①若对∀x∈[a,+∞),f(x)≡A,结论成立.

②若∃x0∈[a,+∞),使得f(x0 )<A,

由极限保号性,∃M1>x0,对∀x>M1,有f(x)>f(x0).

在[a,M1]上,f(x)连续,故f(x)在[a,M1]上有最小值,记为f(ξ)=m.

而在(M1,+∞)上,f(x)>f(x0 )≥m=f(ξ).

综上,f(ξ)也是[a,+∞)上f(x)的最小值.

同理可证最大值的情况.

考研2022年北京理工大学( )

已知函数f(x)在(0,1)上连续,且f(1)=3ex-1f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)+f'(ξ)=0.

设F(x)=ex-1 f(x),则F' (x)=ex-1 f(x)+ex-1 f' (x)=ex-1 [f(x)+f' (x)]

F(1)=e0 f(1)=f(1)=3ex-1 f(x)dx=3F(x)dx=3∙1/3∙F(η)=F(η),η∈(0,1/3)

即F(1)=F(η),η∈(0,1/3),根据Roller定理,∃ξ∈(η,1)⊂(0,1),使得

F' (ξ)=eξ-1 [f(ξ)+f' (ξ)]=0⟹f(ξ)+f' (ξ)=0

考研2022年北京理工大学( )

已知二元函数f(x,y)=.

(1)求fx(0,y);

(2)证明:fxy(0,0)=-1.

(1)当y=0时,fx (0,0)=(f(x,0)-f(0,0))/x=(0-0)/x=0,

当y≠0时,fx (0,y)=(f(x,y)-f(0,y))/x==-y.

∴fx (0,y)=.

(2) fxy (0,0)=(fx (0,y)-fx (0,0))/y=(-y-0)/y=-1.

考研2022年北京理工大学( )

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .

(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数;

(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

(1) ρ=20190216204018.png=20190216204018.png=1,

所以,收敛半径R=1.

当x=1时,(-1)n n(n+1)发散,

当x=-1时,n(n+1)发散,

所以,级数的收敛区间为(-1,1).

令x=-t,有:

(-1)n n(n+1) xn =n(n+1) tn =t(tn+1 )''

=t∙(t2/(1-t))''=2t/(1-t)3 =(-2x)/(1+x)3 

(2)令x=1/4,有:

(-1)n n(n+1)/4n =(-2∙1/4)/(1+1/4)3 =-32/125

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已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an ),证明:

(1)数列{an }收敛;

(2) (an/an+1 -1) 收敛.

(1)由已知,an>0,an+1=1/2 (an+1/an )≥1/2∙2=1,所以,数列{an }有下界,

又an+1-an=1/2 (an+1/an )-an=1/2∙(1-an2)/an ≤0,即an+1≤an

∴数列{an }单调下降,且有下界,故收敛.

(2)由(1)知,数列{an }单调下降,

所以,an/an+1 ≥1,即an/an+1 -1≥0,级数为正项级数,故只需证明它的部分和Sn有界即可.

Sn=(ak/ak+1 -1)=(ak-ak+1)/ak+1(ak-ak+1 ) =a1-an+1≤a1=2

所以,部分和有界,级数收敛.