高中数学-高考试题(山东大学 1949年数列与推理)

问答题（1949年山东大学）

若a₁,a₂,⋯,a_n为已知正数，试求atctan(a₁-a₂)/(1+a₁ a₂)+atctan(a₂-a₃)/(1+a₂ a₃)+⋯+atctan(a_n-1-a_n)/(1+a_n-1 a_n)的值.

答案解析

暂无答案

讨论

反三角函数

cos⁡[arcsin⁡(-4/5)-arccos⁡(-3/5)]的值等于【】

函数y=arcsinx(x∈[-1,1])的反函数是__________.

arctan 1/3 + arctan 1/2的值是__________.

函数y=sin⁡x，x∈[π/2,3π/2]的反函数为【】

若0<α<1，在[0,2π]上满足sinx≥α的x的范围是【】

求sin⁡(2arcsin(⁡4/5))的值.

函数y=arccos⁡(sinx)(- π/3<x<2π/3)的值域是【】

使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是【】

若0<α<π/2，则acrsin⁡[cos⁡(π/2+a) ]+arccos⁡[sin⁡(π+α) ]等于【】

满足arccos⁡(1-x)≥arccos的x的取值范围是【】

数列

极限(C22+C32+C42+⋯+Cn2)/(n(C21+C31+C41+⋯+Cn1))=【】

在公比为正数的等比数列{an}中，a2+a4=30,a4+a6=15/2，则a1的值为【】

有三数原成等比级数，其和为9/2.若第一数以2/3乘之，第二数以2/3乘之，第三数以16/27乘之，则成等差级数，问原三数各几何?

设数列{an}的前n项和为Sn.则a2,a3,a4,⋯为等比数列.(1) Sn+1>Sn,n=1,2,3,⋯(2) {Sn}是等比数列.

求级数1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+⋯ n项及无穷项之和.其第n项为1/(2n-1)(2n+1).

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？

以三角形各边为直径作圆，试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项.

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数，何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)

数列与推理

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an

证明：(+1)(+1)⋯(+1)=(-1)/(x-1)

求2+22+23+⋯+2n之和，并利用之以证1+3×2+5×22+⋯+(2n-1)∙2n-1=3-2n+(n-1) 2n+1.

等差级数，等比级数以及调和级数各项的倒数各成什么级数?

问θ为何种数值时，sinθ+sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ+⋯成一收敛级数.

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.

设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】