高中数学-高考试题(中央大学 1946年数列与推理)

问答题（1946年中央大学）

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

答案解析

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讨论

线与角

Twos tations,A and B on opposite side of a mountain, are both visible from a third station C. The distance AC=3m.CB=5m and the angle ACB=60°. Find the distance between A and B.

Two straight roads intersect at an angle of 30°. If two automobiles start at the same time at the junction, one at the rate of 60 miles an hour and the other atthe rate of 40 miles an hour, how far apart will they be in 15 minutes?

一定点 D在 AB 及 AC 两直线间，求作过 D至 AB、AC 两线之直线，并 D为所作线之三等分点之一点，并证有二此等线.

过一已知点，作直线分已知等腰梯形为两等积形.

路旁有塔 CD，塔底 D 与路最近处为路上之 A 点.于路上 B 点测得塔顶 C之仰角为 α，又测得 BC 与路成角β .已知 AD =l，求塔高.

Given ∠1=∠2,a,b,c，find d.

已知角 A 及角内一点 P，求作过 P 点的直线，使其在 A 角内之部分被 P 点平分.

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an

变换方程式x4+16x3+89x2+200x+156=0，使其缺第二项,因而求原方程式之根.

求椭圆x²+5y²=5及圆(x+2)²+y²=5之实公切线之方程式.

数列

记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和, 若 a1 = −2, a2 + a6 = 2, 则 S10 = ______.

已知公比大于 1 的等比数列 {an} 满足 a2 + a4 = 20, a3 = 8.(1) 求 {an} 的通项公式;(2) 记 bm 为 {an} 在区间 (0, m] (m ∈ N∗) 中的项的个数, 求数列 {bm} 的前 100 项和 S100.

在等差数列 {an} 中, a1 = −9, a5 = −1. 记 Tn = a1a2 · · · an (n = 1, 2, · · · ), 则数列 {Tn}【】

已知 {an} 是无穷数列. 给出两个性质:① 对于 {an} 中任意两项 ai, aj (i > j), 在 {an} 中都存在一项 am, 使得 =am;② 对于 {an} 中任意一项 an (n ⩾ 3), 在 {an} 中都存在两项 ak, al (k > l), 使得 an = .(I) 若 an = n (n = 1, 2, …), 判断数列 {an} 是否满足性质 ①, 说明理由;(II) 若 an = 2n−1 (n = 1, 2, · · · ), 判断数列 {an} 是否同时满足性质 ① 和性质 ②, 说明理由;(III) 若 {an} 是递增数列, 且同时满足性质 ① 和性质 ②, 证明: {an} 为等比数列.

已知数列 {an} 为不为零的等差数列, 且 a1 + a10 = a9, 则 (a1+a2+⋯+a9)/a10 =__________ .

已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠ 0, a1/d ⩽ 1. 记 b1 = S2, bn+1 = Sn+2 − S2n, n ∈ N∗, 下列不可能成立的是【】

我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题, 如数列 {n(n+1)/2} 就是二阶等差数列,数列{n(n+1)/2} (n ∈ N∗) 的前 3 项和是________.

设 {an} 是公差为 d 的等差数列, {bn} 是公比为 q 的等比数列. 已知 {an + bn} 的前 n 项和为 Sn = n2 − n + 2n − 1 (n ∈ N∗), 则 d + q 的值是______.

若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x,y,z成等差数列.

已知数列{an}的首项a1=b(b≠0)，它的前n项的和Sn=a1+a2+⋯+an (n≥1)，并且S1,S2,⋯,Sn,⋯是一个等比数列，其公比为p(p≠0，且|p|<1).(Ⅰ) 证明：a2,a3,⋯,an,⋯（即{an}从第2项起）是一个等比数列.(Ⅱ) 设Wn=a1 S1+a2 S2+⋯+an Sn (n≥1)，求Wn（用b,p表示）.

数列与推理

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(I)写出数列{an}的前3项;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(Ⅲ)令bn=1/2(an+1/an +an/an+1 )(n∈N),求(b1+b2+⋯+bn-n).

设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N)，则|a1|+|a2|+⋯+|a15|=______.

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+ ，b2=1+，b3=1+，…，依此类推，其中αk∈N* (k=1,2,⋯)．则【】

数列{an}中，a1=1,a2=3，若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.(1)求a4的所有可能值.(2)命题p：若a1,a2,a3,…,a8成等差数列，则a9<30，证明命题p为真；写出p的逆命题q，并判断q的真假，若命题q为真则证明，若命题q为假，请举出反例.(3)若对任意正整数m,a2m=3m，求数列{an}的通项公式.

(I)设{an}是集合{2t+2s |0≤s<t,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(ii)求a100.(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)设{bn}是集合{2t+2s+2r |0≤r<s<t,r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k.