问答题(1931年上海交通大学

Twos tations,A and B on opposite side of a mountain, are both visible from a third station C. The distance AC=3m.CB=5m and the angle ACB=60°. Find the distance between A and B.

答案解析

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讨论

自 △ABC 的顶点 A 引 ∠B 的内外角平分线之垂线,则此两垂足与 AB,AC两边的中点共线.求证之.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2,…,n,从上到下的第i行恰有个圆,且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内,忍者路径是指一串由n个圆组成的序列,从最上面一行的圆开始,每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一,直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

设ABC是一个正三角形.点A1,B1,C1在三角形ABC的内部,且满足A1 B=A1 C,B1 A=B1 C,C1 A=C1 B及∠BA1 C+∠CB1A+∠AC1 B=480°.设直线BC1与CB1交于点A2,AC1与A1 C交于B2,AB1与A1 B交于C2.证明:若三角形A1 B1 C1的三边长度两两不等,则三角形AA1 A2,BB1 B2,CC1 C2的外接圆都经过两个公共点.

如图,∠ABC=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E.已知AD=8,BE=3,则DE=______.

在锐角三角形ABC中,AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明:ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.

给定整数n > 1 .在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司 A 和B,各运营 k 辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站) . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同, k 个终点也互不相同,并且起点较高的缆车,它的终点也较高. B 公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某家公司连接,如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数 k ,使得一定有两个车站被两家公司同时连接.(印度供题)

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点,且满足:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明:∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线,三线共点。 (波兰供题)

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子,重量分别为 1 , 2 , 3 , … , 4n .每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:可以把这些小石子分成两堆,且满足以下两个条件:● 两堆小石子的总重量相同;● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚.(匈牙利供题)

如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点 . 求证:(1) CD=CM=CN;(2) CD2=AM•BN.