高中数学-高考试题(上海交通大学 1931年空间直线及关系)

问答题（1931年上海交通大学）

Find the equation of the projection of the linex=z+2,y=2z-4 upon the plane x+y- z = 0.

答案解析

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讨论

高中数学

Find the locus of the point of intersection of lines drawn through the foci of an ellipse parallel to conjugate diameters.

Chords of the circle p=29cosθ which pass through the pole are extended a distance 2b. Find the locus of their extremities.

The point of contact of a tangent to an hyperbola is midway between the points in which the tangent meets the asymptotes.

Given the parabola y²=4x and the line x=2+ecosα,y=-4+ecosβ，find the condition which cosα and cosβ must satisfy if the line meets the parabola in but one point.

A boy standing cft. behind and opposite the middle of a foothall goal sees that the angle of elevation of the nearer is A and the angle of elevation of the farther one is B. Show that the length of the field is c(tanAcotB-1).

A,B,C are the angles of a triangle, prove that tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

Find all the positive angles less than 380° which satisfy the equation sinx+sin2xsin3x = 0.

Solve the following equation by taking the steps performed in srriving at Cardann formulas, but do not formulas themselves: x³ - 15x² - 33x +847= 0.

Six persons throw for a stake, which is to be won by the one who first throws head with a coin: if they throw in succession, find the chance of the fourth person.

Find the general term and the sum ofn terms of the series -3,-1,11,39,89,167.

空间解析几何

如图，平面α,β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上，点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN=45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1. 求：(1) 点A到平面β的距离；(2) 二面角A-BC-M的大小（用反三角函数表示）.

如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则【】

如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点，正四棱锥底面长为2a，高为h. （Ⅰ）求cos⁡⟨,⟩；（Ⅱ）记面BVC为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED.

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m)，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°，由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【】

如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD = DC = 1，M 为 BC 的中点，且 PB⊥AM．(1) 求 BC；(2) 求二面角A-PM-B的正弦值.

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,点E为A1 D1的中点，直线B1 C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1 C1的中点；(2)若点M为棱A1 B1上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为/3，求A1 M/A1B1 .

空间直线及关系

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点（如图）.求证MNPQ是一个矩形.

两条异面直线，指的是【】

已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.那么，在四面体S-EFG中必有【】

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC垂直于平面PBC.

如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是【】

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是【】

已知：两条异面直线a,b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a,b上分别取点E,F，设A1E=m,AF=n. 求证：EF=.

已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有【】