高中数学-高考题(江苏省 2020年空间平面及关系)

证明题（2020年江苏省）

在三棱柱 ABC − A₁B₁C₁ 中, AB ⊥ AC, B₁C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B₁C 的中点.

(1) 求证: EF // 平面 AB₁C₁;

(2) 求证: 平面 AB₁C ⊥ 平面 ABB₁.

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关键词

平面；空间；数学；解析几何；棱柱；abb；中点；求证；在三；空间平面及关系；

江苏省

已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 3}, 则 A ∩ B =__________.

已知 i 是虚数单位, 则复数 z = (1 + i)(2 − i) 的实部是______.

已知一组数据 4, 2a, 3 − a, 5, 6 的平均数为 4, 则 a 的值是______.

将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次, 观察向上的点数, 则点数和为 5 的概率是______.

如图是一个算法流程图, 若输出 y 的值为 −2, 则输入 x 的值是______.

在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2/a2 -y2/5=1 (a > 0) 的一条渐近线方程为 y=/2 x , 则该双曲线的离心率是_______.

已知 y = f(x) 是奇函数, 当 x ⩾ 0 时, f(x) = x2/3 , 则 f(−8) 的值是______.

已知sin2(π/4+α)=2/3, 则sin2α的值是_______.

如图, 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm, 高为 2cm, 内孔半径为 0.5cm, 则此六角螺帽毛坯的体积是 __________cm3.

将函数y=3sin⁡(2x+π/4)的图象向右平移 π/6 个单位长度, 则平移后的图像中与 y 轴最近的对称轴的方程是__________.

空间平面及关系

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝。骨架将到柱底面8 等分，再用S 平方米塑輯片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面).（Ⅰ）当圆柱底面半径r 为何值时， S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方米）；（Ⅱ）在灯笼内，以矩形骨架的頂点为端点，安装一些霓虹灯，当灯笼底面半径为0.3 米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3,A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示).

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为面AC内的一点，Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ(0°<θ<90°)，线段PM的长为a.求线段PQ的长.

在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.那么，在四面体S-EFG中必有【】

如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是【】

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

证明题

设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证：ABC是锐角三角形.

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

证明对数换底公式：logbN=logaN/logab.(a,b,N都是正数，a≠1,b≠1)

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

已知0<α<π.证明：2sin2α≤cot(α/2)；并讨论α为何值时等号成立.

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明.

用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）.设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,...uk=ak-ak-1b+ak-2b2-...+(-1)kbk;求证：un=un-1+un-2 (n≥3).

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点（如图）.求证MNPQ是一个矩形.

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.