高中数学-高考试题(江苏省 2020年空间平面及关系)

证明题（2020年江苏省）

在三棱柱 ABC − A₁B₁C₁ 中, AB ⊥ AC, B₁C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B₁C 的中点.

(1) 求证: EF // 平面 AB₁C₁;

(2) 求证: 平面 AB₁C ⊥ 平面 ABB₁.

答案解析

(1) 因为 E, F 分别是 AC, B1C 的中点, 所以 EF // AB1.又 EF ̸⊂ 平面 AB1C1, AB1 ⊂ 平面 AB1C1, 所以 EF // 平面 AB1C1.(2) 因为 B1C ⊥ 平面 ABC, AB ⊂ 平面 ...

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讨论

高中数学

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P(/2,0), A、 B 是圆 C : x2+(y-1/2)2=36上的两个动点, 满足 P A = P B, 则 △P AB 面积的最大值是______.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

设 {an} 是公差为 d 的等差数列, {bn} 是公比为 q 的等比数列. 已知 {an + bn} 的前 n 项和为 Sn = n2 − n + 2n − 1 (n ∈ N∗), 则 d + q 的值是______.

将函数y=3sin⁡(2x+π/4)的图象向右平移 π/6 个单位长度, 则平移后的图像中与 y 轴最近的对称轴的方程是__________.

如图, 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm, 高为 2cm, 内孔半径为 0.5cm, 则此六角螺帽毛坯的体积是 __________cm3.

已知sin2(π/4+α)=2/3, 则sin2α的值是_______.

已知 y = f(x) 是奇函数, 当 x ⩾ 0 时, f(x) = x2/3 , 则 f(−8) 的值是______.

在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2/a2 -y2/5=1 (a > 0) 的一条渐近线方程为 y=/2 x , 则该双曲线的离心率是_______.

如图是一个算法流程图, 若输出 y 的值为 −2, 则输入 x 的值是______.

空间解析几何

下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

已知平面P1:10x+15y+12z-60=0,P2:-2x+5y+4z-20=0.若存在一个四面体，其中两个面分别位于平面P1和P2上，下面哪条直线可能是该四面体的一条棱【】

Find the equation of the projection of the linex=z+2,y=2z-4 upon the plane x+y- z = 0.

Find the equation of the plane passing through the line (x-x1)/a1 =(y-y1)/b1 =(z-z1)/c1 which is parallel to the (x-x2)/a2 =(y-y2)/b2 =(z-z2)/c2 .

Find the equation of the sphere which passes through (1,5,-3),(-3,0,0) which center on the 3x+y+z=0,x+2y +1 = 0.

自一平面外之一点 A向平面上作 AB 垂线，CD 为平面内之任一线，AE线垂直于CD，证BE线垂直于CD.

过一定点作一直线 AB 平行于一定平面 P，且与另一定平面 Q 所成之角等于定角 θ.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

如图, 三棱台 ABC − DEF 中, 平面 ACFD ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = ∠ACD = 45°, DC = 2BC.(I) 证明: EF ⊥ DB;(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.

空间平面及关系

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则【】

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m)，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°，由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【】

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,点E为A1 D1的中点，直线B1 C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1 C1的中点；(2)若点M为棱A1 B1上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为/3，求A1 M/A1B1 .

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.(1)求证：D1 F//平面A1 EC1；(2)求直线AC1与平面A1 EC1所成角的正弦值；(3)求二面角A-A1 C1-E的正弦值.

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．（1）证明：FN⊥AD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．