高中数学-高考试题(天津市 2022年空间平面及关系)

问答题（2022年天津市）

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2,AA₁⊥AB,D为A₁B₁的中点，E为AA₁的中点，F为CD的中点.

(₁)求证：EF//ABC平面；

(2)求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；

(3)求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值.

答案解析

(1)取BB1的中点G，连接FG,EG，连接AD交EG于K，再连接FK.∵EK//A1 B1，且E是AA1的中点，∴K是AD的中点，∴FK//AC,EG//AB，又FK⊄平面ABC,AC⊂平面ABC，∴FK//平面ABC，同理可得，EG//平面ABC，又FK∩EG=K,∴平面EFG//平面ABC，∴EF//平面ABC.(2)在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AC⊥AB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1=AB=AC=2,D为A1 B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点，∴B(2,2,0),E(1,0,0),C(2,0,2),C1 (0,0,2),D(0,1,0)(BE) →=(-1,-2,0),(CC1 ) →=(-2,0,0),(CD) →=(-2,1,-2)，设n →=(x...

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讨论

高中数学

在∆ABC中，a=√6,b=2c,cosC=-1/4.(1)求∠C的大小；(2)求sinB的值；(3)求sin⁡(2A-B)的值.

定义函数f(x)代表|x|-2与x2-ax+3a-5中较小的数.若f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为__________.

在∆ABC中，(CA)→=a,(CB)→=b,D是AC的中点,(CB)→=2(BE)→,试用a,b表示(DE)→=________；若(AB)→⊥DE→，求∠C的最大值为______.

52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为______;已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为______.

直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m，则m=______.

(√x+3/x2)5展开式中的常数项为________.

“x为整数”是“2x+1”为整数的【】条件.

设全集U={ -2, -1,0,1, 2} ，集合 A = {0,1, 2}， B = {-1,1}，则A∩(CUB)=【】

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.

(I)设{an}是集合{2t+2s |0≤s<t,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(ii)求a100.(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)设{bn}是集合{2t+2s+2r |0≤r<s<t,r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k.

空间解析几何

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．（1）证明：FN⊥AD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

如图, 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点.(I) 求证: BC1 // 平面 AD1E;(II) 求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值.

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

空间平面及关系

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为面AC内的一点，Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ(0°<θ<90°)，线段PM的长为a.求线段PQ的长.

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

如图，平面α,β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上，点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN=45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1. 求：(1) 点A到平面β的距离；(2) 二面角A-BC-M的大小（用反三角函数表示）.

如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.