证明题(2020年全国Ⅲ(文)

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.

(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;

(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

答案解析

(1) 如图, 连结 BD, B1D1. 因为 AB = BC, 所以四边形 ABCD 为正方形, 故 AC ⊥ BD. 又因为BB1 ⊥ 平面 ABCD, 于是 AC ⊥ BB1. 所以 AC ⊥ 平面 BB1D1D.由于 EF ⊂ 平面 BB1D1D, 所以 EF ⊥ AC.(2) 如图, 在棱 AA1 上取点 G, 使得 AG = 2GA1, 连结 GD1, FC1, FG.因为 D1E = 2/3...

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讨论

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有【 】

如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________.

如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为【 】

如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明:C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则【 】

如图,以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点,正四棱锥底面长为2a,高为h. (Ⅰ)求cos⁡⟨,⟩;(Ⅱ)记面BVC为α,面DVC为β,若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,求∠BED.

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是【 】

2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一,下图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°,由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【 】

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.

如图,在正四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2 C2//A2 D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2 C2-D2为150°时,求B2 P.

坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素,安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形,若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为√14/5,则该五面体的所有棱长之和为【 】

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3. (1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PC-B的大小.

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. (Ⅰ)若AD⊥PB,证明:AD//平面PBC;(Ⅱ)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为√42/7,求AD.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥AD;(2)点F满足(EF)→=(DA)→,求二面角D-AB-F的正弦值.

如图,在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中,E∈BB1,截面A1 EC⊥侧面AC1 (Ⅰ)求证: BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1 B1,求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角(锐角)的度数. 注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:(如图)在截面A1 EC内,过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1;得BF//EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.(Ⅱ)解:

如图,已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1,点E在棱D1 D上,截面EAC//D1 B,且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积;(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离;(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,点E为A1 D1的中点,直线B1 C1交平面CDE于点F. (1)求证:点F为B1 C1的中点;(2)若点M为棱A1 B1上一点,且二面角M-CF-E的余弦值为/3,求A1 M/A1B1 .