高中数学-高考试题(新高考Ⅱ 2023年空间平面及关系)

问答题（2023年新高考Ⅱ）

如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.

(1)证明：BC⊥AD;

(2)点F满足(EF)^→=(DA)^→，求二面角D-AB-F的正弦值.

答案解析

(1)连接AE,DE，因为E为BC的中点，且DB=DC，∴DE⊥BC①，∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC=AB,从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE，∴BC⊥平面ADE,∵AD⊂平面ADE,∴BC⊥AD.(2)不妨设DA=DB=DC=2,∵BD⊥CD,∴BC=2√2,DE=AE=√2.∴AE²+DE²=AD²=4,∴AE⊥DE,又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BC⊂平面BCD,∴AE⊥平面BCD.以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,√2),B(0,√2,0)...

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讨论

空间直角坐标系

如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD = DC = 1，M 为 BC 的中点，且 PB⊥AM．(1) 求 BC；(2) 求二面角A-PM-B的正弦值.

如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点，正四棱锥底面长为2a，高为h. （Ⅰ）求cos⁡⟨,⟩；（Ⅱ）记面BVC为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED.

已知 C1, C2 的参数方程分别为 C1 :(θ为参数)， C2 : (t 为参数) ,(1) 将 C1, C2 的参数方程化为普通方程;(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 C1, C2 的交点为 P , 求圆心在极轴上, 且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.

执行如图的程序框图, 若输入 k = 0, a = 0, 则输出的 k 为【】

正三棱台高为1，上下底边长分别为3√3和4√3，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是【】

在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．（1）求证：OE//平面PAC；（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．

某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有【】种.

已知α为锐角，cosα=(1+√5)/4，则sin⁡(α/2)=【】

已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°,AP=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则【】

空间向量

设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则【】

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2，M,N分别是A1B1,A1A的中点. (I)求的长； (II)求cos⟨,⟩的值；(Ⅲ)求证A1B⊥C1M.

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a,=b,=c，则下列向量中与相等的向量是【】

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则【】

如图，直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4，△A1 BC的面积为2√2．（1）求A到平面A1 BC的距离；（2）设D为A1 C的中点，AA1=AB，平面A1 BC⊥平面ABB1 A1，求二面角A-BD-C的正弦值．

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S，其中t,p为实数，i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量，若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝，则以下说法正确的是【】

在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).

在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成 1200 份订单的配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压, 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单未配货, 预计第二天新订单是 1600 份的概率为 0.05. 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于 0.95, 则至少需要志愿者【】

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【】

空间平面及关系

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则【】

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m)，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°，由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【】

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.(1)求证：D1 F//平面A1 EC1；(2)求直线AC1与平面A1 EC1所成角的正弦值；(3)求二面角A-A1 C1-E的正弦值.

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．（1）证明：FN⊥AD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.