证明题(1996年全国统考

如图,在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中,E∈BB1,截面A1 EC⊥侧面AC1

 

(Ⅰ)求证: BE=EB1;

(Ⅱ)若AA1=A1 B1,求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角(锐角)的度数.

    注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)证明:(如图)在截面A1 EC内,过E作EG⊥A1 C,G是垂足.

 

①∵_________________________________________

∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.

②∵_________________________________________.

∴BF⊥侧面AC1;得BF//EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.

③∵_________________________________________

∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.

④∵_________________________________________

∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.

⑤∵_________________________________________

∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1

故BE=EB1.

(Ⅱ)解:

答案解析

(Ⅰ)①面A1 EC⊥侧面AC1②面ABC⊥侧面AC1③BE//侧面AC1④BE//AA1⑤AF=FC,(Ⅱ)分别延长CE, C1 B1交于点D,连接A1 D. ∵EB1//CC1 ,EB1=1/2 BB1=1/2 CC1,∴DB1=1/2 DC1=B1 C1=A1 B1,∵∠B1 A1 C1=∠B1 C1 A1=60°,∠DA1 B1=∠A1 DB1=1/2 (180°-∠...

查看完整答案

讨论

已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是【 】

如图, 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm, 高 为 2cm, 内孔半径为 0.5cm, 则此六角螺帽毛坯的体积是 __________cm3.

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,那么V1:V2=__________.

在体积为V的斜三棱柱ABC-A'B'C'中,已知S是侧棱CC'上的一点,过点S,A,B的截面截得的三棱锥的体积为V1,那么过点S,A',B'的截面截得的三棱锥的体积为______.

如图,已知:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB = 90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= ,M是 CC1 的中点.求证AB1⊥A1M.

如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1,B,C1的平面和平面ABC的交线记作l.(I)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.

如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC的中点.(Ⅰ)证明AB1//平面DBC1;(Ⅱ)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱、DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.

如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC,则BD1与AF1所成的角的余弦值是【 】

如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为【 】

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为【 】

如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC,求证:SC垂直于截面MAB.

如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上,又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a.求线段PQ的长.

如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,D为A1B1的中点,E为AA1的中点,F为CD的中点.(1)求证:EF//ABC平面;(2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值;(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.

如图,在正四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2 C2//A2 D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2 C2-D2为150°时,求B2 P.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

如图, 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点.(I) 求证: BC1 // 平面 AD1E;(II) 求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值.

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A .从P看地平面上一物体 B (不同于 A ) ,直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).证明:平面 N 必与平面 M 相交,且交线 l 垂直于 AB.

如图,已知二面角α-AB-β的平面角是锐角,C是平面α内的一点(它不在棱AB上),点D是点C在平面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么【 】.

如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱SB垂直于底面,并且SB=,用α表示∠ASD,求sinα的值.

如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

如图,平面α,β相交于直线MN,点A在平面α上,点B在平面β上,点C在直线MN上,∠ACM=∠BCN=45°,A-MN-B是60°的二面角,AC=1. 求:(1) 点A到平面β的距离;(2) 二面角A-BC-M的大小(用反三角函数表示).

如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.(1)求证:D1 F//平面A1 EC1;(2)求直线AC1与平面A1 EC1所成角的正弦值;(3)求二面角A-A1 C1-E的正弦值.

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点.(1)求证:MN∥平面BCC1B1;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件①:AB⊥MN;条件②:BM=MN.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.