高中数学-高考试题(全国统考 1994年棱柱)

问答题（1994年全国统考）

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC的中点.

(Ⅰ)证明AB₁//平面DBC₁;

(Ⅱ)假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱、DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数.

答案解析

(I)证明: ∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.连接B1C交BC1于E,则B1E=EC连接DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE//AB1.又AB1⊄平面DBC1,DE ⊂平面DBC1,∴AB1//平面DBC1.(Ⅱ)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连接EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.AB1⊥BC1,由(I)知AB1//DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF...

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讨论

棱柱

如图，已知：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB = 90°，∠BAC=30°,BC=1,AA1= ,M是 CC1 的中点.求证AB1⊥A1M.

如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，过点A1,B,C1的平面和平面ABC的交线记作l.(I)判定直线A1C1和l的位置关系，并加以证明；(Ⅱ)若A1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求顶点A1到直线l的距离.

已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是【】

如图, 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm, 高为 2cm, 内孔半径为 0.5cm, 则此六角螺帽毛坯的体积是 __________cm3.

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分，那么V1:V2=__________.

在体积为V的斜三棱柱ABC-A'B'C'中，已知S是侧棱CC'上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A'，B'的截面截得的三棱锥的体积为______.

如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1）（注：填上你认为正确的一-种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为【】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，DD为棱A1B1上的点, BF⊥A1B1. (1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积.

立体几何

在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________(精确到0.1m)。

建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元。

已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为【】

如图，四边形ABCD为正方形， ED⊥平面ABCD，FB//ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD,F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则【】

The base of a right circular cone has a diameter of 25 feet and its slant height is 40 feet. The surface of the cone is cut along a straight line from its vertex to a point on the base, and the surface is then spread out flat to form a sector of a circle. Find the angle of its sector in degrees.

已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°,AP=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则【】

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点, ∠APC = 90°.(1) 证明: 平面 PAB ⊥ 平面 PAC;(2) 设 DO = , 圆锥的侧面积为π, 求三棱锥 P − ABC 的体积.

如图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积是【】

已知圆锥的底面半径为 1, 母线长为 3, 则该圆锥内半径最大的球的体积为______.

某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为【】

空间直线及关系

两条异面直线，指的是【】

已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.那么，在四面体S-EFG中必有【】

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC垂直于平面PBC.

如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是【】

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是【】

已知：两条异面直线a,b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a,b上分别取点E,F，设A1E=m,AF=n. 求证：EF=.

已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有【】

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.