证明题(1962年全国统考

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.

答案解析

第一种情形(如图):四条直线l1,l2,l3,l4没有三条直线过同一点,这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同,因直线l1,l2相交于点A,可决定一平面α;因点B、C、D、E均在平面α内,所以直线l3,l4也在平面α内,故直线l1,l2,l3,l4同在平面α内.第二种情形(如图):四条直线l1,l2,l...

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讨论

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 绕其中一条轴 AB 旋转成一个圆柱.(1) 求该圆柱的表面积;(2) 将 DC 旋转 90° 至 C1D1, 求线 C1D 与平面 ABCD 的夹角.

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A .从P看地平面上一物体 B (不同于 A ) ,直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).证明:平面 N 必与平面 M 相交,且交线 l 垂直于 AB.

如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC,求证:SC垂直于截面MAB.

如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4 个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 米铁丝。 骨架将到柱底面8 等分,再用S 平方米塑輯片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(Ⅰ) 当圆柱底面半径r 为何值时, S 取得最大值? 并求出该最大值(结果精确到0.01 平方米);(Ⅱ) 在灯笼内,以矩形骨架的頂点为端点, 安装一些霓虹灯,当灯笼底面半径为0.3 米时,求图中两根直线型霓虹灯A1B3,A3B5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上,又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a.求线段PQ的长.

在xOy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1)及(0,3).求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.

如图,已知二面角α-AB-β的平面角是锐角,C是平面α内的一点(它不在棱AB上),点D是点C在平面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么【 】.

如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱SB垂直于底面,并且SB=,用α表示∠ASD,求sinα的值.

如图所示四面体A-BCD中,AB,BC,BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角大小为arccos /10,求四面体A-BCD的体积.

在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.(Ⅰ)求证:A'F⊥C'E;(Ⅱ)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时,求二面角B'-EF-B的大小(结果用三角函数表示).

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【 】

如图, 三棱台 ABC − DEF 中, 平面 ACFD ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = ∠ACD = 45°, DC = 2BC.(I) 证明: EF ⊥ DB;(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.

在120°的二面角P-α-Q的两个面P和Q内,分别有点A和B . 已知点A和点B到棱α的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1) 求直线AB和棱α所成的角;(2) 求直线AB和平面Q所成的角.

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证MNPQ是一个矩形.

两条异面直线,指的是【 】

已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S-EFG中必有【 】