高考题2020年江苏省( )

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).

(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;

(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;

(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].

求证: n − m ⩽.

高考题2020年江苏省( )

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.

(1) 求 △AF1F2 的周长;

(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 的最小值;

(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

(1) 根据椭圆定义可得 AF1 + AF2 = 2a = 4, F1F2 = 2c = 2.所以三角形 △AF1F2 的周长为 AF1 + AF2 + F1F2 = 6.

(2) 设 P(t, 0), 因为 AF2⊥F1F2, 所以点 A(1, 3/2).

故直线 AP 的方程为 y=x-3t/(2-2t) .

由题意知准线方程为 x = 4, 所以Q(4,(12-3t)/(2-2t)).

=t(t-4), 当 t = 2 时 最小值为 −4.

(3) AB:y=3/4 x+3/4 , O 到 AB 的距离为 3/5.

因为 S2 = 3S1, 所以 M 到 AB 的距离为 9/5 .

设M(x,y),则=9/5 ,所以|3/4 x+3/4-y|=9/4 ,故3/4 x+3/4-y=±9/4 . 即M在直线y=3/4 x+3 或 y=3/4 x-3/2 上,联立方程 , . 解得M(2,0) 或 M(-2/7,-12/7) .

高考题2020年江苏省( )

某地准备在山谷中建一座桥梁, 桥址位置的竖直截面图如图所示: 谷底 O 在水平线 MN 上, 桥 AB 与 MN平行, OO′为铅垂线 (O′在 AB 上), 经测量, 左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 (米) 与 D 到 OO′ 的距离 a (米) 之间满足关式 h1=1/40 a2 ; 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 (米) 与 F 到 OO′的距离 b (米)之间满足关系式 h2=-1/800 b3+6b . 已知点 B 到 OO′的距离为 40 米.

(1) 求桥 AB 的长度;

(2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′的桥墩 CD 和 EF , CE 为 80 米, 其中 C, E 在 AB 上 (不包括端点), 桥墩 EF 每米造价 k (万元), 桥墩 CD 每米造价 3/2 k (万元) (k > 0), 问 O′E为多少米时, 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?

(1) 过 A, B 分别作 MN 的垂线, 垂足为 A′, B′, 则 AA′ = BB′ = AA'=BB'=-1/800×403+6×40=160 .

令 1/40 a2=160 , 得 a = 80, 所以 AO′= 80, AB = AO′+ BO′= 80 + 40 = 120.

 

(2) 设 O′E = x, 则 CO′= 80 − x, 由 ,得 0<x<40.

总造价 y=3k/2 [160-1/40 (80-x)2 ]+k[160-(-1/800 x3+6x)]=k/800(x3-30x2+160×800) , 则

y'=k/800 (3x2-60x)=3k/800 x(x-20) .

因为 k > 0, 所以令 y′= 0, 得 x = 0 或 20, 所以当 0 < x < 20 时, y′< 0, y 单调递减; 当 20 < x < 40 时,

y′> 0, y 单调递增. 所以, 当 x = 20 时, y 取最小值, 造价最低.

高考题2020年江苏省( )

在 △ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 a = 3, c = , B = 45º.

 

(1) 求 sinC 的值;

(2) 在边 BC 上取一点 D, 使得 cos∠ADC =-4/5, 求 tan∠DAC 的值.

(1) 由余弦定理, 得 cos B = cos 45º =(a2+c2-b2)/2ac = (11-b2)/(6) = /2 . 因此 b2 = 5, 即 b =.

由正弦定理 c/sinC=b/sinB , 得 /sinC=√5/(/2) . 因此 sin C = /5 .

(2) 因为 cos∠ADC = -4/5 , 所以 sin∠ADC =  = 3/5.

因为 ∠ADC ∈ (π/2 , π), 所以 C ∈ (π/2 , π), 所以 cos C = =(2)/5. 所以

sin∠DAC = sin(π − ∠DAC) = sin(∠ADC + ∠C) = sin ∠ADC cos C + cos ∠ADC sin C = (2)/25.

因为 ∠DAC ∈ (0,π/2), 所以 cos∠DAC =  = (11)/25. 故 tan∠DAC =(sin∠DAC)/(cos∠DAC) =2/11.

高考题2020年江苏省( )

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.

(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;

(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

 (1) 因为 E, F 分别是 AC, B1C 的中点, 所以 EF // AB1.

又 EF ̸⊂ 平面 AB1C1, AB1 ⊂ 平面 AB1C1, 所以 EF // 平面 AB1C1.

(2) 因为 B1C ⊥ 平面 ABC, AB ⊂ 平面 ABC, 所以 B1C ⊥ AB.

又 AB ⊥ AC, B1C ⊂ 平面 AB1C, AC ⊂ 平面 AB1C, B1C ∩ AC = C,

所以 AB ⊥ 平面 AB1C.

又因为 AB ⊂ 平面 ABB1, 所以平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.