已知a₁,a₂,⋯,a_n为实数，且∑_i=1ⁿa_i =n,∑_i=1ⁿa_i² =2n,∑_i=1ⁿa_i³ =3n.

(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max⁡{a₁,a₂,⋯,a_n }-min⁡{a₁,a₂,⋯,a_n }≥C；

(2)证明存在常数C₂>0使得max⁡{a₁,a₂,⋯,a_n }-min⁡{a₁,a₂,⋯,a_n }+C≥C₂^n-3，其中C为(1)中的常数.

设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

对于R²中任意两点(x₁,y₁ ),(x₂,y₂)，定义该两点之间的小数距离为：

√(‖x₁-x₂ ‖²+‖y₁-y₂ ‖² )

其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.

给定整数a₁>a₂>⋯>a_n>1，记M=lcm(a₁,a₂,⋯,a_n )，对任意非空有限正整数集X，定义

f(X)=min_1≤i<n⁡∑_x∈X{x/a_i } 

若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/a_n .

求证：|X|≤f(X)∙M.

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.