设函数f(x)=xlnx.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)≥a(x-√x)在x∈(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

(3)若x₁,x₂∈(0,1)，证明：|f(x₁)-f(x₂)|≤|x₁-x₂ |^1/2.

已知数列{a_n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁=1,S₂=a₃-1.

(1)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(2)设b_n=,b₁=1，其中k是大于1的正整数.

(ⅰ)当n=a_k+1时，求证：b_n-1≥a_k∙b_k；

(ⅱ)求∑_i=1^Snb_i .

已知椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为e=1/2，左顶点为A，下顶点为B,C是线段OB的中点，S_△ABC=3√3/2.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点(0,-3/2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q，在y轴上是否存在点T使得(TP)⋅(TQ)≤0恒成立？若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知四棱柱ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA₁⊥平面ABCD,AD⊥AB，其中AB=AA₁=2,AD=DC=1,N是B₁ C₁的中点，M是DD₁的中点.

(1)求证：D₁ N∥平面CB₁ M；

(2)求平面CB₁ M与平面BB₁ CC₁的夹角的余弦值；

(3)求点B到平面CB₁ M的距离.

在△ABC中，cosB=9/16,b=5,a/c=2/3.

(1)求a;

(2)求sinA;

(3)求cos⁡(B-2A).