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高考题2001年全国新课程( )

设0<θ<π/2,曲线x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1和x2cos⁡θ-y2sin⁡θ=1有4个不同的交点.

(Ⅰ)求θ的取值范围;

(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

(Ⅰ)两曲线的交点坐标(x,y)满足方程组

   即

有4个不同交点等价x2>0且y2>0,

又因为0<θ<π/2,所以得θ的取值范围为(0,π/4).

(Ⅱ)由(Ⅰ)的推理之4个交点坐标(x,y)满足方程x2+y2=2 cos⁡θ (0<θ<π/4),即得4个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径为r= (0<θ<π/4).

因为cos⁡θ在(0,π/4)上式减函数,所以由cos⁡θ=1,cos⁡π/4=/2知r的取值范围是(,).

高考题2001年全国新课程( )

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虛轴)旋转所成的曲面,其中A,A'是双曲线的顶点,C,C是冷却塔上口直径的两个端点,B,B'是下底直径的两个端点,已知AA'=14 m, CC'=18 m,BB'=22 m,塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3 ,塔壁厚度不计,π取3.14).

(Ⅰ)如图建立直角坐标系xOy,AA'在x轴上,AA'的中点为坐标原点O,CC'与BB'平行于x轴.

 

设双曲线方程为x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)

则a=1/2 AA'=7.

又设B(11,y1 ),C(9,y2 ),

因为点B,C在双曲线上,所以有

(112)/72 -(y12)/b2 =1,①

92/72 -(y22)/b2 =1,②

由题意知y2-y1=20.③

有①②③得y1=-12,y2=8,b=7.

故双曲线方程为x2/49-y2/98=1.

( Ⅱ )由双曲线方程的x2=1/2 y2+49.

设冷却塔的容积为V(m3 )

则V=πx2 dy=π (1/2 y2+49)dy

= π(1/6 y3+49y),

经计算的V≈4.25×103 (m3 )

答:冷却塔的容积为4.25×103 m3.

高考题2001年全国新课程( )

如图,以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点,正四棱锥底面长为2a,高为h.

 

(Ⅰ)求cos⁡⟨,⟩;

(Ⅱ)记面BVC为α,面DVC为β,若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,求∠BED.

(Ⅰ)由题意知B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),E(-a/2,a/2,h/2),

由此得=(-3a/2,-a/2,h/2), =(a/2,3a/2,h/2),

=(-3a/2)∙a/2+(-a/2)∙3a/2+h/2∙h/2

=-(3a2)/2+h2/4,

||=||= 

=1/2 .

由向量的数量积公式有

cos⁡⟨,⟩=

==.

(Ⅱ)若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,则 ,即有 ∙ =0.

又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有 =(a,-a,h),且=(-3a/2,-a/2,h/2),

=-(3a2)/2+-a2/2+h2/2=0,

即h=a,这时有cos⁡⟨,⟩===-1/3

∴∠BED=⁡⟨,⟩ =arccos⁡(-1/3)

=π-arccos⁡(1/3).

高考题2001年全国新课程( )

设a>0,f(x)=ex/a+a/ex 是R上的偶函数.

(Ⅰ)求a的值.

(Ⅱ)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(Ⅰ)依题意,对一切x∈R有f(x)=f(-x),

即ex/a+a/ex =1/(aex )+aex

所以(a-1/a)(ex-1/ex )=0对一切x∈R成立.

由此得a-1/a=0,即a2=1.

又因为a>0,所以a=1.

(Ⅱ)由f(x)=ex+e-x

得f' (x)=ex+e-x=e-x (e2x-1).

当x∈(0,+∞)时,有e-x>0,e2x-1>0

此时f' (x)>0.

所以f(x)在(0,+∞)是增函数.

高考题2001年全国新课程( )

如图,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1 N2.当元件A,B,C都正常工作时,系统N1正常工作; 当元件A正常工作且元件B,C至少有一个正常工作; 时,系统N2正常工作.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90分别求系统N1 N2正常工作的概率P1 P2.

分别记元件A,B,C正常工作为事件A,B,C,由已知条件

P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(Ⅰ)为事件A,B,C是相互独立的,所以系统N1正常工作的概率

P1=P(A∙B∙C)=P(A)∙P(B)∙P(C) 

=0.80×0.90×0.90=0.648.

故系统N1正常工作的概率为0.648.

(Ⅱ)系统N2正常工作的概率

P2=P(A)∙[1-P()] 

 =P(A)∙[1-P()∙P()] 

∵P()=1-P(B)=1-0.90=0.10

P()=1-P(C)=1-0.90=0.10 

∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]

=0.80×0.99=0.792.

故系统N2正常工作的概率为0.792.