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高考1977年河北省( )

分解因式x2y - 2y3.

原式=y(x2 - 2y2)=y(x+√2 y)(x-√2 y).

高考1977年 安徽省( )

分解因式:a2-2ab+b2-6a+6b+5.

高考1977年 安徽省( )

化简

高考1977年 安徽省( )

化简 

竞赛2020年11月中国数学奥林匹克( )

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n,对k=1,2,3,4,5,记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn,已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.

求证:(Ci - Cj)2 ≥236.

不妨设n=p1 p2…p36.

定义f(n)=([n/5],[2n/5]-[n/5],[3n/5]-[2n/5],[4n/5]-[3n/5],[5n/5]-[4n/5]),

若n=0,则f(0)=(0,0,0,0,0),可忽略.

约定∀k∈R (a1+k,a2+k,a3+k,a4+k,a5+k)=(a1,a2,a3,a4,a5 )

所以,若a≡b(mod5),则f(a)=f(b)

设A=(c1,c2,c3,c4,c5 )=f(n)-[(f(n/p1 )+f(n/p2 )+⋯)]+[(f(n/(p1 p2 ))+⋯)]

若n不为5的倍数,设n≡,1/pi (mod 5),定义g(x)=f(2x),则g(x+4)=g(x).

则A=g(a0 )-[g(a0+a1 )+g(a0+a2 )+⋯]+[g(a0+a1+a2 )+⋯]

取h(x)= (-1)(-1)…(-1)=(x-1)d (x2-1)e (x3-1)f (x4-1)g

=-(++⋯)+(+⋯) 

于是A中g(t)(t=1,2,3,4)的个数为a0,a0+a1,a0+a2,…中≡(mod 4)的个数,[注:①g(4k+t)视为g(t);② 若a0+ai≡t(mod 4),视作“-1”个”“ ≡t(mod 4)的数”]

记dt=1/4x-t h(x)

A=dtg(t)=(0,d2+d3,d1+d2,d2+d3,0) 

(ci-cj)2 =4(d2+d3)2+2(d1+d2)2+2(d1-d3)2

记h(i)=a+bi,

①式 =[Re(ih(i)-h(i))]2+1/2 [Re(h(i)+ih(i))]2+2[Re(ih(i))]2

∵ a+bi= (i-1)d (-i-1)f (-2)e

∴ |a+bi|≥

②式 =(a+b)2+1/2 (a-b)2+2b2 

=a2+b2+1/2 [a2+2ab+3b2 ]>a2+b2=23

若5|n,由c1~c5不完全相同知,25∤n,记n=5m,p36=5

则A=f(n)-[(f(n/p1 )+f(n/p2 )+⋯)]+[(f(n/(p1 p2 ))+⋯)]

=-[f(m)-f(m/p1 )-f(m/p2 )+⋯] 

(ci-cj)2 =1/2 [a2+2ab+7b2

|a+bi|=| (i-1)d (-i-1)f (-2)e |≥ 

如果|a+bi|≥,则同前一种情况;

如果|a+bi|=,则|a|=|b|

(ci-cj)2 ≥1/2 (3a2+7a2-2a2 )=4a2=23

当且仅当a=-b,e=0时等号成立.