（1）f' (x)=-e/(2x² )+1/x=(2x-e)/(2x² )，

当0<x<e/2，f' (x)<0；当x>e/2，f' (x)>0，

故f(x)的减区间为(0,e/2)，f(x)的增区间为(e/2,+∞).

（2）（ⅰ）因为过(a,b)有三条不同的切线，设切点为(x_i,f(x_i )),i=1,2,3，

故f(x_i )-b=f' (x_i )(x_i-a)，

故方程f(x)-b=f' (x)(x-a)有3个不同的根，

该方程可整理为(1/x-e/(2x² ))(x-a)-e/2x-ln⁡x+b=0，

设g(x)=(1/x-e/(2x² ))(x-a)-e/2x-ln⁡x+b，

则g' (x)=1/x-e/(2x² )+(-1/x² +e/x³ )(x-a)-1/x+e/(2x² )

=-1/x³  (x-e)(x-a)，

当0<x<e或x>a时，g' (x)<0；当e<x<a时，g' (x)>0，

故g(x)在(0,e),(a,+∞)上为减函数，在(e,a)上为增函数，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0，

故(1/e-e/(2 e ² ))(e-a)-e/2e-ln⁡e+b<0且(1/a-e/(2a² ))(a-a)-e/2a-ln⁡a+b>0，

整理得到：b<a/2e +1且b>e/2a+ln⁡a=f(a)，

此时b-f(a)-1/2 (a/e-1)<a/2e+1-(e/2a+ln⁡a )-a/2e+1/2=3/2-e/2a-ln⁡a，

设u(a)=3/2-e/2a-ln⁡a，则u' (a)=(e-2 a)/(2a² )<0，

故u(a)为(e,+∞)上的减函数，故u(a)<3/2-e/2e-ln⁡e=0，

故0<b-f(a)<1/2 (a/e-1) 

（ⅱ）当0<a<e时，同（ⅰ）中讨论可得：

故g(x)在(0,a),(e,+∞)上为减函数，在(a,e)上为增函数，

不妨设x₁<x₂<x₃，则0<x₁<a<x₂<e<x₃，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e)>0，

故(1/e-e/(2 e ² ))(e-a)-e/2e-ln⁡e+b>0且(1/a-e/(2a² ))(a-a)-e/2a-ln⁡a+b<0，

整理得到：a/2e +1<b<a/2e +ln⁡a，

因为x₁<x₂<x₃，故0<x₁<a<x₂<e<x₃，

又g(x)=1-(a+e)/x+ea/(2x² )-ln⁡x+b，

设t=e/x，a/e=m∈(0,1)，则方程1-(a+e)/x+ea/(2x² )-ln⁡x+b=0即为：

-(a+e)/e t+a/2e t²+ln⁡t+b=0即为-(m+1)t+m/2 t²+ln⁡t+b=0，

记t₁=e/x₁ ,t₂=e/x₂ ,t₃=e/x₃ ,

则t₁,t₁,t₃为-(m+1)t+m/2 t²+ln⁡t+b=0有三个不同的根，

设k=t₁/t₃ =x₃/x₁ >e/a>1，m=a/e<1，

要证：2/e+(e-a)/(6e² )<1/x₁ +1/x₂ <2/a-(e-a)/(6e² )，即证2+(e-a)/6e<t₁+t₃<2e/a-(e-a)/6e，

即证：(13 -m)/6<t₁+t₃<2/m-(1-m)/6，

即证：(t₁+t₃-(13 -m)/6)(t₁+t₃-2/m+(1-m)/6)<0，

即证：t₁+t₃-2-2/m<(m-13)(m²-m+12)/36m(t₁+t₃ ) ，

而-(m+1) t₁+m/2 t₁²+ln⁡t₁+b=0且-(m+1) t₃+m/2 t₃²+ln⁡t₃+b=0，

故ln⁡t₁-ln⁡t₃+m/2 (t₁²-t₃² )-(m+1)(t₁-t₃ )=0，

故t₁+t₃-2-2/m=-2/m×(ln⁡t₁-ln⁡t₃)/(t₁-t₃ )，

故即证：-2/m×(ln⁡t₁-ln⁡t₃)/(t₁-t₃ )<(m-13)(m²-m+12)/36m(t₁+t₃ ) ，

即证：((t₁+t₃ )  ln⁡t₁/t₃)/(t₁-t₃ )+(m-13)(m²-m+12)/72>0

即证：((k+1)  ln⁡k)/(k-1)+(m-13)(m²-m+12)/72>0，

记φ(k)=((k+1)  ln⁡k)/(k-1),k>1，则φ' (k)=1/(k-1)²  (k-1/k-2 ln⁡k )>0，

设u(k)=k-1/k-2 ln⁡k，则u' (k)=1+1/k² -2/k>2/k-2/k=0即φ' (k)>0，

故φ(k)在(1,+∞)上为增函数，故φ(k)>φ(m)，

所以((k+1)  ln⁡k)/(k-1)+(m-13)(m²-m+12)/72>((m+1)  ln⁡m)/(m-1)+(m-13)(m²-m+12)/72，

记ω(m)=ln⁡m+(m-1)(m-13)(m²-m+12)/72(m+1) ,0<m<1，

则ω' (m)=((m-1)² (3m³-20m²-49m+72))/(72m(m+1)² )>((m-1)² (3m³+3))/(72m(m+1)² )>0，

所以ω(m)在(0,1)为增函数，故ω(m)<ω(1)=0，

故ln⁡m+(m-1)(m-13)(m²-m+12)/72(m+1) <0即((m+1)  ln⁡m)/(m-1)+(m-13)(m²-m+12)/72>0，

故原不等式得证.

（1）设Q(2√3 cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,P(0,1),则

|PQ|²=12 cos²⁡θ+(1-sinθ)²=13-11 sin²⁡θ-2sinθ=-11(sinθ+1/11)²+144/11≤144/11,

当且仅当sin⁡θ=-1/11时取等号，故|PQ|的最大值是(12√11)/11.

（2）设直线AB:y=kx+1/2,

直线AB方程与椭圆x²/12+y²=1联立,可得(k²+1/12) x²+kx-3/4=0,

设A(x₁,y₁ ),B(x₂,y₂)，则，

因为直线PA:y=(y₁-1)/x₁  x+1与直线y=-1/2 x+3交于C,

所以x_C=(4x₁)/(x₁+2y₁-2)=(4x₁)/((2k+1) x₁-1)，

同理可得, x_D=(4x₂)/(x₂+2y₂-2)=(4x₂)/((2k+1) x₂-1).

∴|CD|=|x_C-x_D |=√5/2 |(4x₁)/((2k+1) x₁-1)-(4x₂)/((2k+1) x₂-1)|

=2√5 |(x₁-x₂)/[(2k+1)x₁-1][(2k+1)x₂-1] |=2√5 |(x₁-x₂)/((2k+1)² x₁ x₂-(2k+1)(x₁+x₂ )+1)|

=(3√5)/2⋅/|3k+1| =(6√5)/5⋅)/|3k+1| ≥(6√5)/5×)/|3k+1| =(6√5)/5，

当且仅当k=3/16时取等号，故|CD|的最小值为(6√5)/5.

（1）∵S₄-2a₂ a₃+6=0，a₁=-1，

∴-4+6d-2(-1+d)(-1+2d)+6=0，

化简得d²-3d=0，

又d>1，所以d=3，

所以a_n=3n-4,S_n=(a₁+a_n )n/2=(3n²-5n)/2.

（2）∵a_n+c_n，a_n+1+4c_n，a_n+2+15c_n成等比数列，

∴(a_n+1+4c_n )²=(a_n+c_n )(a_n+2+15c_n )，

即(nd-1+4c_n )²=(-1+nd-d+c_n )(-1+nd+d+15c_n )，

化简得c_n²+(14d-8nd+8)c_n+d²=0，

由已知方程c_n²+(14d-8nd+8)c_n+d²=0的判别式大于等于0，

得Δ=(14d-8nd+8)²-4d²=(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)≥0对于任意的n∈N*恒成立，

化简得[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]≥0对于任意的n∈N*恒成立，

当n=1时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]=(d+1)(d+2)≥0，

当n=2时，由(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，可得d≤2，

当n≥3时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>(n-3)(2n-5)≥0，

又d>1，所以1<d≤2.

（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G,H．

∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°，

由平面几何知识易知，DG=AH=2,∠EFC=∠DCF=∠DCB=∠ABC=90°，

则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，

∴在Rt△EGD和Rt△DHA，EG=DH=2√3，

∵D⊥CF,DC⊥CB,且CF∩CB=C，

∴DC⊥平面BCF,∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，则∠BCF=60°，

∴△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，

∵N是BC的中点，

∴FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，FN⊂平面BCF，可得FN⊥CD，而BC∩CD=C，

∴FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，

∴FN⊥AD.

（2）因为FN⊥平面ABCD，过点N做AB平行线NK，所以以点N为原点， NK，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-xyz，

设A(5,√3,0),B(0,√3,0),D(3,-√3,0),E(1,0,3)，则M(3,√3/2,3/2)，

∴(BM)=(3,-√3/2,3/2),(AD)=(-2,-2√3,0),(DE)=(-2,√3,3)

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)

由，得，取n=(√3,-1,√3)，

设直线BM与平面ADE所成角为θ，

∴sin⁡θ=|cos⁡⟨ n ⃗,(BM) ⃗⟩|=(|n ⃗⋅(BM) ⃗|)/(|n ⃗|⋅(BM) ⃗|)==(5√3)/(√7⋅2√3)=(5√7)/14．

（1）由于cos⁡C=3/5， 0<C<π，则sin⁡C=4/5．因为4a=√5 c，

由正弦定理知4sinA=√5 sinC，则sinA=√5/4 sinC=√5/5．

（2）因为4a=√5 c，由余弦定理，得

cosC=(a²+b²-c²)/2ab=(a²+121-16/5 a²)/22a=(11-a²/5)/2a=3/5,

即a²+6a-55=0，解得a=5，

而sin⁡C=4/5，b=11，

所以△ABC的面积S=1/2 absinC=1/2×5×11×4/5=22.