设函数f(x)=e/2x+lnx (x>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:
(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);
(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).
(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)
(1)f' (x)=-e/(2x2 )+1/x=(2x-e)/(2x2 ),
当0<x<e/2,f' (x)<0;当x>e/2,f' (x)>0,
故f(x)的减区间为(0,e/2),f(x)的增区间为(e/2,+∞).
(2)(ⅰ)因为过(a,b)有三条不同的切线,设切点为(xi,f(xi )),i=1,2,3,
故f(xi )-b=f' (xi )(xi-a),
故方程f(x)-b=f' (x)(x-a)有3个不同的根,
该方程可整理为(1/x-e/(2x2 ))(x-a)-e/2x-lnx+b=0,
设g(x)=(1/x-e/(2x2 ))(x-a)-e/2x-lnx+b,
则g' (x)=1/x-e/(2x2 )+(-1/x2 +e/x3 )(x-a)-1/x+e/(2x2 )
=-1/x3 (x-e)(x-a),
当0<x<e或x>a时,g' (x)<0;当e<x<a时,g' (x)>0,
故g(x)在(0,e),(a,+∞)上为减函数,在(e,a)上为增函数,
因为g(x)有3个不同的零点,故g(e)<0且g(a)>0,
故(1/e-e/(2 e 2 ))(e-a)-e/2e-lne+b<0且(1/a-e/(2a2 ))(a-a)-e/2a-lna+b>0,
整理得到:b<a/2e +1且b>e/2a+lna=f(a),
此时b-f(a)-1/2 (a/e-1)<a/2e+1-(e/2a+lna )-a/2e+1/2=3/2-e/2a-lna,
设u(a)=3/2-e/2a-lna,则u' (a)=(e-2 a)/(2a2 )<0,
故u(a)为(e,+∞)上的减函数,故u(a)<3/2-e/2e-lne=0,
故0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)
(ⅱ)当0<a<e时,同(ⅰ)中讨论可得:
故g(x)在(0,a),(e,+∞)上为减函数,在(a,e)上为增函数,
不妨设x1<x2<x3,则0<x1<a<x2<e<x3,
因为g(x)有3个不同的零点,故g(a)<0且g(e)>0,
故(1/e-e/(2 e 2 ))(e-a)-e/2e-lne+b>0且(1/a-e/(2a2 ))(a-a)-e/2a-lna+b<0,
整理得到:a/2e +1<b<a/2e +lna,
因为x1<x2<x3,故0<x1<a<x2<e<x3,
又g(x)=1-(a+e)/x+ea/(2x2 )-lnx+b,
设t=e/x,a/e=m∈(0,1),则方程1-(a+e)/x+ea/(2x2 )-lnx+b=0即为:
-(a+e)/e t+a/2e t2+lnt+b=0即为-(m+1)t+m/2 t2+lnt+b=0,
记t1=e/x1 ,t2=e/x2 ,t3=e/x3 ,
则t1,t1,t3为-(m+1)t+m/2 t2+lnt+b=0有三个不同的根,
设k=t1/t3 =x3/x1 >e/a>1,m=a/e<1,
要证:2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x2 <2/a-(e-a)/(6e2 ),即证2+(e-a)/6e<t1+t3<2e/a-(e-a)/6e,
即证:(13 -m)/6<t1+t3<2/m-(1-m)/6,
即证:(t1+t3-(13 -m)/6)(t1+t3-2/m+(1-m)/6)<0,
即证:t1+t3-2-2/m<(m-13)(m2-m+12)/36m(t1+t3 ) ,
而-(m+1) t1+m/2 t12+lnt1+b=0且-(m+1) t3+m/2 t32+lnt3+b=0,
故lnt1-lnt3+m/2 (t12-t32 )-(m+1)(t1-t3 )=0,
故t1+t3-2-2/m=-2/m×(lnt1-lnt3)/(t1-t3 ),
故即证:-2/m×(lnt1-lnt3)/(t1-t3 )<(m-13)(m2-m+12)/36m(t1+t3 ) ,
即证:((t1+t3 ) lnt1/t3)/(t1-t3 )+(m-13)(m2-m+12)/72>0
即证:((k+1) lnk)/(k-1)+(m-13)(m2-m+12)/72>0,
记φ(k)=((k+1) lnk)/(k-1),k>1,则φ' (k)=1/(k-1)2 (k-1/k-2 lnk )>0,
设u(k)=k-1/k-2 lnk,则u' (k)=1+1/k2 -2/k>2/k-2/k=0即φ' (k)>0,
故φ(k)在(1,+∞)上为增函数,故φ(k)>φ(m),
所以((k+1) lnk)/(k-1)+(m-13)(m2-m+12)/72>((m+1) lnm)/(m-1)+(m-13)(m2-m+12)/72,
记ω(m)=lnm+(m-1)(m-13)(m2-m+12)/72(m+1) ,0<m<1,
则ω' (m)=((m-1)2 (3m3-20m2-49m+72))/(72m(m+1)2 )>((m-1)2 (3m3+3))/(72m(m+1)2 )>0,
所以ω(m)在(0,1)为增函数,故ω(m)<ω(1)=0,
故lnm+(m-1)(m-13)(m2-m+12)/72(m+1) <0即((m+1) lnm)/(m-1)+(m-13)(m2-m+12)/72>0,
故原不等式得证.
如图,已知椭圆x2/12+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,1/2)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
(1)设Q(2√3 cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,P(0,1),则
|PQ|2=12 cos2θ+(1-sinθ)2=13-11 sin2θ-2sinθ=-11(sinθ+1/11)2+144/11≤144/11,
当且仅当sinθ=-1/11时取等号,故|PQ|的最大值是(12√11)/11.
(2)设直线AB:y=kx+1/2,
直线AB方程与椭圆x2/12+y2=1联立,可得(k2+1/12) x2+kx-3/4=0,
设A(x1,y1 ),B(x2,y2),则,
因为直线PA:y=(y1-1)/x1 x+1与直线y=-1/2 x+3交于C,
所以xC=(4x1)/(x1+2y1-2)=(4x1)/((2k+1) x1-1),
同理可得, xD=(4x2)/(x2+2y2-2)=(4x2)/((2k+1) x2-1).
∴|CD|=|xC-xD |=√5/2 |(4x1)/((2k+1) x1-1)-(4x2)/((2k+1) x2-1)|
=2√5 |(x1-x2)/[(2k+1)x1-1][(2k+1)x2-1] |=2√5 |(x1-x2)/((2k+1)2 x1 x2-(2k+1)(x1+x2 )+1)|
=(3√5)/2⋅/|3k+1| =(6√5)/5⋅
)/|3k+1| ≥(6√5)/5×
)/|3k+1| =(6√5)/5,
当且仅当k=3/16时取等号,故|CD|的最小值为(6√5)/5.
已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N* ).
(1)若S4-2a2 a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
(1)∵S4-2a2 a3+6=0,a1=-1,
∴-4+6d-2(-1+d)(-1+2d)+6=0,
化简得d2-3d=0,
又d>1,所以d=3,
所以an=3n-4,Sn=(a1+an )n/2=(3n2-5n)/2.
(2)∵an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,
∴(an+1+4cn )2=(an+cn )(an+2+15cn ),
即(nd-1+4cn )2=(-1+nd-d+cn )(-1+nd+d+15cn ),
化简得cn2+(14d-8nd+8)cn+d2=0,
由已知方程cn2+(14d-8nd+8)cn+d2=0的判别式大于等于0,
得Δ=(14d-8nd+8)2-4d2=(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)≥0对于任意的n∈N*恒成立,
化简得[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]≥0对于任意的n∈N*恒成立,
当n=1时,[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]=(d+1)(d+2)≥0,
当n=2时,由(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0,可得d≤2,
当n≥3时,[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>(n-3)(2n-5)≥0,
又d>1,所以1<d≤2.
如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.
(1)证明:FN⊥AD;
(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
(1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G,H.
∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形,AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,
由平面几何知识易知,DG=AH=2,∠EFC=∠DCF=∠DCB=∠ABC=90°,
则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形,
∴在Rt△EGD和Rt△DHA,EG=DH=2√3,
∵D⊥CF,DC⊥CB,且CF∩CB=C,
∴DC⊥平面BCF,∠BCF是二面角F-DC-B的平面角,则∠BCF=60°,
∴△BCF是正三角形,由DC⊂平面ABCD,得平面ABCD⊥平面BCF,
∵N是BC的中点,
∴FN⊥BC,又DC⊥平面BCF,FN⊂平面BCF,可得FN⊥CD,而BC∩CD=C,
∴FN⊥平面ABCD,而AD⊂平面ABCD,
∴FN⊥AD.
(2)因为FN⊥平面ABCD,过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点, NK,NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-xyz,
设A(5,√3,0),B(0,√3,0),D(3,-√3,0),E(1,0,3),则M(3,√3/2,3/2),
∴(BM)=(3,-√3/2,3/2),(AD)=(-2,-2√3,0),(DE)=(-2,√3,3)
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)
由,得
,取n=(√3,-1,√3),
设直线BM与平面ADE所成角为θ,
∴sinθ=|cos⟨ n ⃗,(BM) ⃗⟩|=(|n ⃗⋅(BM) ⃗|)/(|n ⃗|⋅(BM) ⃗|)==(5√3)/(√7⋅2√3)=(5√7)/14.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=√5 c,cosC=3/5.
(1)求sinA的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
(1)由于cosC=3/5, 0<C<π,则sinC=4/5.因为4a=√5 c,
由正弦定理知4sinA=√5 sinC,则sinA=√5/4 sinC=√5/5.
(2)因为4a=√5 c,由余弦定理,得
cosC=(a2+b2-c2)/2ab=(a2+121-16/5 a2)/22a=(11-a2/5)/2a=3/5,
即a2+6a-55=0,解得a=5,
而sinC=4/5,b=11,
所以△ABC的面积S=1/2 absinC=1/2×5×11×4/5=22.