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高考2023年北京市( )

设函数f(x)=x-x³eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.

(1)求a,b的值;

(2)设g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

(3)求f(x)极值点的个数.

(1)由f(x)=x-x³ eax+b,x∈R得f' (x)=1-(3x²+ax³ ) eax+b

∵f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,

∴f(1)=-1+1=0,f' (1)=-1,

,解得

(2)由(1)得g(x)=f' (x)=1-(3x²-x³ ) e-x+1 (x∈R),

则g' (x)=-x(x²-6x+6) e-x+1

令x²-6x+6=0,解得x=3±√3,不妨设x1=3-√3,x2=3+√3,

则0<x1<x2,易知e-x+1>0恒成立,

令g' (x)<0,解得0<x<x1或x>x2

令g' (x)>0,解得x<0或x1<x<x2

所以,g(x)在(0,x1 ),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2 )上单调递增,

即g(x)的单调递减区间为(0,3-√3)和(3+√3,+∞),单调递增区间为(-∞,0)和(3-√3,3+√3);

(3)由(1)得f(x)=x-x³ e-x+1 (x∈R),f'(x)=1-(3x²-x³ ) e-x+1

由(2)知f'(x)在(0,x1 ),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2 )上单调递增,

①当x<0时,f' (-1)=1-4e²<0,f' (0)=1>0,即f' (-1) f' (0)<0,

所以,f' (x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-1<x3<0,

因此,当x<x3时,f' (x)<0,f(x)单调递减;当x3<x<0时,f' (x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点;

②当x∈(0,x1)时,f'(x)在(0,x1)上单调递减,又f'(x)在(x1,x2)上单调递增,

则f' (x1 )=f' (3-√3)<f' (1)=1-2<0,故f' (0) f' (x1 )<0,

所以f'(x)在(0,x1 )上存在唯一零点,不妨设为x4,则0<x4<x1

此时,当0<x<x4时,f' (x)>0,f(x)单调递增;当x4<x<x1时,f' (x)<0,f(x)单调递减;

所以f(x)在(0,x1)上有一个极大值点;

③当x∈(x1,x2 )时,f'(x)在(x1,x2)上单调递增,

则f' (x2 )=f' (3+√3)>f' (3)=1>0,故f' (x1 ) f' (x2 )<0,

所以f'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x1<x5<x2

此时,当x1<x<x5时,f' (x)<0,f(x)单调递减;当x5<x<x2时,f' (x)<0,f(x)单调递增,

所以f(x)在(x1,x2 )上有一个极小值点;

④当x>x2=3+√3>3时,3x²-x³=x² (3-x)<0,

所以f' (x)=1-(3x²-x³ ) e-x+1>0,f(x)单调递增,

所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点.

综上,f(x)在(-∞,0)和(x1,x2)上各有一个极小值点,在(0,x1)上有一个极大值点,共有3个极值点.

高考2023年新高考Ⅱ( )

证明:当0<x<1时,x-x²<sinx<x.

构建F(x)=x-sinx,x∈(0,1),则F' (x)=1-cosx>0恒成立,

∴F(x)在(0,1)上单调递增,

∴F(x)>F(0)=0,即x>sinx,x∈(0,1);

构建G(x)=sinx-(x-x² )=x²-x+sinx,x∈(0,1),

则G' (x)=2x-1+cosx,x∈(0,1),

构建g(x)=G' (x),x∈(0,1),则g' (x)=2-sinx>0恒成立,

∴g(x)在(0,1)上单调递增,

∴g(x)>g(0)=0,即G' (x)>0对∀x∈(0,1)恒成立,

∴G(x)在(0,1)上单调递增,

∴G(x)>G(0)=0,

∴sinx>x-x²,x∈(0,1);

综上所述:x-x²<sinx<x.

高考2023年新高考Ⅱ( )

若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值,则【 】

A、bc>0

B、ab>0

C、b²+8ac>0

D、ac<0

ac<0

函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)的定义域为(0,+∞),

求导得f' (x)=a/x-b/x² -2c/x³ =(ax²-bx-2c)/x³ ,

∵函数f(x)既有极大值也有极小值,则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,且a≠0,

∴方程ax²-bx-2c=0有两个不相等的正根x1,x2.

∴∆=b²+8ac>0,x1+x2=b/a>0,x1 x2=-2c/a>0,

∴ab>0,ac<0,bc<0,

∴A错,BCD对.

高考2023年新高考Ⅱ( )

已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为【 】

A、e2

B、e

C、e-1

D、e-2

e-1

对f(x)求导得,f'(x)=aex-1/x,

若f(x)在(1,2)上单调递增,只需f'(x)>0,x∈(1,2),

即aex-1/x>0,x∈(1,2),

易知a>0,则xex>1/a,

设g(x)=xex,x∈(1,2),则g'(x)=(x+1) ex>0,

∴g(x)在(1,2)上单调递增,

∴g(x)>g(1)=e,

故e≥1/a,即a≥e-1.

高考2023年新高考Ⅰ( )

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+3/2.

(1)对f(x)求导得:f' (x)=aex-1,

① 当a≤0时,f' (x)<0,f(x)单调递减;

② 当a>0时,令f' (x)=0,得:

aex-1=0,解得:x=-lna.

当x<-lna时,f' (x)<0,f(x)单调递减;

当x>-lna时,f' (x)>0,f(x)单调递增.

(2)由(1)知,当a>0时,f(x)先减后增,且在x=-lna处取最小值,

故只需证f(-lna)>2lna+3/2即可.

令g(a)=f(-lna)-2lna-3/2

=a(1/a+a)+lna-2lna-3/2 

=a²-lna-1/2.

则g' (a)=2a-1/a,

令g' (a)=0,得a=√2/2,

当0<a<√2/2时,g' (a)<0,g(a)单调递减;

当a>√2/2时,g' (a)>0,g(a)单调递增.

故g(a)在a=√2/2处取得最小值:g(√2/2)=-ln⁡(√2/2)>0,

∴g(a)>0,

即f(-lna)-2lna-3/2>0,

亦即f(-lna)>2lna+3/2,原题得证.