高考题1982年全国统考( )

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证MNPQ是一个矩形.

连接AC.在△ABC中,∵AM=MB,CN=NB,

∴MN∥AC.

在△ADC中,

∵ AQ=QD,CP=PD,∴ QP∥AC

∴ MN∥AC.

同理,连接BD可证MQ∥NP.

∴ MNPQ是平行四边形.

取AC中点K,连接BK,DK.

∵ AB=BC,∴ BK⊥AC,

又 ∵ AD=DC,∴ DK⊥AC.

因此平面BKD与AC垂直.

∵ BD在平面BKD内,∴ BD⊥AC.

∵ MQ∥BD,QP∥AC,∴ MQ⊥QP,

即∠MQP为直角.

前面已证MNPQ是平行四边形,今又有一内角为直角,因此MNPQ是矩形.

高考题1982年全国统考( )

如图:已知锐角∠AOB=2α内有动点P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四边形PMON的面积等于常数c2.今以∠AOB的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示 什么曲线.

设P点的极坐标为o(ρ,θ),

则 ∠POM=α-θ,∠NOP=α+θ,

OM=ρ cos⁡(α-θ),PM=ρ sin⁡(α-θ),

OM=ρ cos⁡(α+θ),PM=ρ sin⁡(α+θ),

四边形PMON的面积

S=1/2 OM∙PM+1/2 ON∙PN 

2/2[cos⁡(α-θ)sin(α-θ)+cos(α+θ)sin(α+θ)].

依题意,动点P的轨迹的极坐标方程是:

ρ2/2 [cos⁡(α-θ)sin(α-θ)+cos(α+θ)sin(α+θ)]=c2.

用倍角公式化简得ρ2/4 [sin2(α-θ)+sin2(α+θ)]=c2

用和、差公式或和差化积公式化简得

ρ2/2 sin2αcos2θ=c2 即 ρ2 cos2θ=2c2/sin2α.

再化为x2-y2=2c2/sin2α

这个方程表示双曲线.根据题意,动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分.

高考题1982年全国统考( )

设0<x<1,a>0,a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小(要写出比较过程).

==log1+x(1-x).

∵ 1+x>1,0<1-x<1,

∴ 原式=-log1+x(1-x)

=log1+x

=log1+x

=log1+x(1+x) -log1+x(1-x2

∵ 1+x>1,0<1-x2<1,log1+x(1-x2)<0,

log1+x(1+x)=1,

>1,

∴ |loga(1-x)|>|loga(1+x)|

高考题1982年全国统考( )

已知圆锥体的底面半径为R,高为H.求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).

设圆柱体半径为r,高为h. 

由△ACD∽△AOB得(H-h)/H=r/R.

由此得r=R/H(H-h),

圆柱体体积V(h)=πr2h=(H-h)2h.

两边对h求导得V'(h)=(H-h)(H-3h),

令V'(h)=0,得h=H(不合题意,舍去)和h=1/3H.

因而函数V(h)在定义域(0,H)内只有一个驻点,同时根据实际问题必有体积最大的圆柱体,

所以h=1/3H时圆柱体体积最大.

高考题1982年全国统考( )

在平面直角坐标系内,下述方程表示什么曲线?画出它的图形.

原参数方程化为(x-1)2+y2/4=1,图形是椭圆,作图如下: