高考题1991年全国统考( )

双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.

设双曲线的方程为x2/a2 -y2/b2 =1.

依题意,点P,Q的坐标满足方程组

(其中c=),整理得

(5b2-3a2 ) x2+6a2 cx-(3a2 c2+5a2 b2 )=0. ③

设方程③的两个根为x1,x2

若5b2-3a2=0,则b/a=,

即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点,与题设矛盾.

所以5b2-3a2≠0.

根据根与系数的关系,有

 

由于P,Q在直线y= (x-c)上,可记为P(x1,(x1-c)),Q(x2, (x2-c)).

由OP⊥OQ得( (x1-c))/x1 ∙( (x2-c))/x2 =-1,

整理得3c(x1+x2 )-8x1 x2-3c2=0. ⑥

将④⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得

3a4+8a2 b2-3b4=0, (a2+3b2 )(3a2-b2 )=0.

因为a2+3b2≠0,所以b2=3a2

所以c==2a.

由|PQ|=4,

得(x1-x2)2+[ (x2-c)- (x1-c)]2=42.

整理得(x1+x2)2-4x1 x2-10=0. ⑦

将④⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.

将a2=1代入b2=3a2得b2=3.

故所求双曲线方程为x2-y2/3=1.

高考题1991年全国统考( )

已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式logax - 4loga2x + 12loga3x + ⋯ + n(-2)n-1loganx > (1-(-2)n)/3·loga(x2 - a).

利用对数换底公式,原不等式左端化为

loga x-4∙(loga x)/(loga a2 )+12∙(loga x)/(loga a3 )+⋯+n(-2)n-1∙(loga x)/(loga an

=[1-2+4+⋯+(-2)n-1]loga

=(1-(-2)n)/3 loga

故原不等式可化为

(1-(-2)n)/3 loga x>(1-(-2)n)/3 loga (x2-a).  ①

当n为奇数时,(1-(-2)n)/3>0,不等式①等价于

loga x>loga (x2-a).  ②

因为a>1,所以②等价于

 

因为(1-)/2<0,(1+)/2>/2=,

所以,不等式②的解集为{x|<x<(1+)/2}.

当n为偶数时,(1-(-2)n)/3<0,不等式①等价于

loga x<loga (x2-a).  ③

因为a>1,所以③等价于

 或

因为(1-)/2<0,(1+)/2>/2=,

所以,不等式③的解集为{x|x>(1+)/2}.

综合得:当n为奇数时,不等式的解集是{x|<x<(1+)/2};

当n为偶数时,不等式的解集是{x|x>(1+)/2}.

高考题1991年全国统考( )

根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3 + 1在(-∞,+∞)是减函数.

在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2

则f(x2 )-f(x1 )= -  = (x1-x2)( + x1 x2 + )

∵ x1<x2

∴ x1-x2<0

当x1 x2<0时,有+x1 x2+=(x1+x2)2-x1 x2>0;

当x1 x2≥0时,有+x1 x2+>0.

∴ f(x2 )-f(x1 )=(x1-x2 )(+x1 x2+ )<0.

即 f(x2 )<f(x1 )

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)是减函数.

高考题1991年全国统考( )

如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图,连接EG,FG,EF,BD,AC.EF,BD分别交AC于H,O.因为ABCD是正方形,E,F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面ABCD上,与题设矛盾.

 

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC,

∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD

∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,

由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,

所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

∵正方形ABCD的边长为4,GC=2,

∴AC=4,HO=,HC=3.

∴在Rt△HCG中,HG==

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,

故Rt△HKO∽RT△HCG

∴OK=(HO⋅GC)/HG=×2/=2/11.

即点B到平面EFG的距离为2/11.

高考题1991年全国统考( )

已知复数z=1+i,求复数(z2 - 3z + 6)/(z + 1)的模和辐角的主值.

(z2-3z+6)/(z+1)= 

=(3-i)/(2+i) 

=1-i 

1-i的模r==.

因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=-1,

所以辐角的主值θ=7/4 π.