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竞赛2024年罗马尼亚( )
Given a positive integer n, a set S is n-admissible if
①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},
②|S|=n-2,and
③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,
|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2
Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?
【译】给定正整数n，称集合S是n-可行,如果其满足以下条件：
①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集；
②|S|=n-2；
③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S，都有
|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2
判断以下命题是否为真：对所有n>3和所有的n-可行集合S，在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn，使得对集合S中任意元素{i,j,k}，三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.
竞赛2021年全国高中数学联赛( )
求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1,-1}，满足
|∑a∈Af(a)∙a|≤1
解答过程见word版
竞赛2021年全国高中数学联赛( )
若集合A={1,2,m}，其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为________.
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由条件知C的元素为1,2,4,m,m²（允许有重复）.
而当m为实数时，1+2+4+m+m²>6,1+2+4+m²>6，
故只可能是C={1,2,4,m}，且1+2+4+m=6，
于是m=-1（经检验符合题意），
此时C的所有元素之积为1×2×4×(-1)=-8.
竞赛2023年北京市( )
某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980,小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来).若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到k位同学，使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观.求k的最大值.
设学生数为n，满足980≤n≤989.
一方面，若前31组,每组31人，共961人，他们同时进、出校园；第32组，至少19人，至多28人，他们也是同时进、出校园.以上每组之间没有重叠时间.这种情况，最多有31位同学在某个时间都在校园内参观，而最多可选出32位同学，即从这32组中各选一人，他们没有两个人同时在校园内参观（由抽屉原理知不能再多）.这表明所求kmax≤32.
另一方面，假设存在kmax≤31的情况.我们将第一个出校园的同学T1，及他出校园之前进校园的人称为第1组；对剩下的人，重复上面的分组方式，得到相应的T2与第2组，…，Tt与第t组.此时，所有n名同学全部分完组.如此分组，可知每组中的所有同学在某个时间都在校园内参观（由假设知其中人数不超过 31），且T1,T2,⋯,Tt中没有两个人同时在校园内参观（由假设知t≤31).因此总人数不超过31t≤31²=961<n，矛盾.即不存在kmax≤31的情况.
综上，kmax=32.
竞赛2023年北京市( )
S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).
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解答过程见word版