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高考2021年全国乙·理( )

在直角坐标系xOy中,⨀C的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出⨀C的一个参数方程;

(2)过点F(4,1)作⨀C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

(1)依题意,⨀C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,

所以⨀C的参数方程为,( θ为参数)

(2)由题意,切线的斜率一定存在,设切线方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0,

由圆心到直线的距离等于1可得=1,解得k=±/3.

∴切线方程为x-3y+3-4=0或x+3y-3-4=0,

代入x=ρcosθ,y=ρsinθ化简得:

2ρ cos⁡(θ+π/3)=4-或2ρ cos⁡(θ-π/3)=4+.

高考2021年全国甲·理( )

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足=,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.

(1)由曲线C的极坐标方程ρ=2 cosθ可得ρ2=2 ρcosθ⟺x2+y2=2 x,

所以曲线C的直角坐标方程为:(x-)2+y2=2.

(2)设P(x1,y1 ),则=(x1-1,y1 ),=1/ =(,)

=+=(,)

又M为C上,所以(-)2+()2=2,化简得(x1-)2+y12=4.

∴C1:(x-)2+y2=4

∴P的参数方程为:(θ∈R)

∵曲线C的圆心为(,0),半径为,曲线C1的圆心为(3-,0),半径为2,圆心距为3-2

∵3-2<2-

∴两圆为内含关系,故C与C1没有公共点.

高考2001年广东省( )

极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是【 】

A、两条相交直线

B、圆

C、椭圆

D、双曲线

双曲线

高考2001年全国新课程( )

设0<θ<π/2,曲线x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1和x2cos⁡θ-y2sin⁡θ=1有4个不同的交点.

(Ⅰ)求θ的取值范围;

(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

(Ⅰ)两曲线的交点坐标(x,y)满足方程组

   即

有4个不同交点等价x2>0且y2>0,

又因为0<θ<π/2,所以得θ的取值范围为(0,π/4).

(Ⅱ)由(Ⅰ)的推理之4个交点坐标(x,y)满足方程x2+y2=2 cos⁡θ (0<θ<π/4),即得4个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径为r= (0<θ<π/4).

因为cos⁡θ在(0,π/4)上式减函数,所以由cos⁡θ=1,cos⁡π/4=/2知r的取值范围是(,).

高考2001年全国新课程( )

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虛轴)旋转所成的曲面,其中A,A'是双曲线的顶点,C,C是冷却塔上口直径的两个端点,B,B'是下底直径的两个端点,已知AA'=14 m, CC'=18 m,BB'=22 m,塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3 ,塔壁厚度不计,π取3.14).

(Ⅰ)如图建立直角坐标系xOy,AA'在x轴上,AA'的中点为坐标原点O,CC'与BB'平行于x轴.

 

设双曲线方程为x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)

则a=1/2 AA'=7.

又设B(11,y1 ),C(9,y2 ),

因为点B,C在双曲线上,所以有

(112)/72 -(y12)/b2 =1,①

92/72 -(y22)/b2 =1,②

由题意知y2-y1=20.③

有①②③得y1=-12,y2=8,b=7.

故双曲线方程为x2/49-y2/98=1.

( Ⅱ )由双曲线方程的x2=1/2 y2+49.

设冷却塔的容积为V(m3 )

则V=πx2 dy=π (1/2 y2+49)dy

= π(1/6 y3+49y),

经计算的V≈4.25×103 (m3 )

答:冷却塔的容积为4.25×103 m3.