设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

给定整数a₁>a₂>⋯>a_n>1，记M=lcm(a₁,a₂,⋯,a_n )，对任意非空有限正整数集X，定义

f(X)=min_1≤i<n⁡∑_x∈X{x/a_i } 

若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/a_n .

求证：|X|≤f(X)∙M.

求所有正整数对(a,b)满足：存在正整数g和N使得

gcd⁡(aⁿ+b,bⁿ+a)=g

对所有整数n≥N均成立.(注：gcd⁡(x,y)表示x与y的最大公约数).

求所有实数α满足：对任意正整数n，整数

⌊α⌋+⌊2α⌋+⋯+⌊nα⌋

均为n的倍数.(注：⌊z⌋表示小于等于z的最大整数.例如，⌊-π⌋=-4,⌊2⌋=⌊2.9⌋=2)

已知i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5-2i)=________.