高中数学-高考试题(天津市 2024年复数的运算)

填空题（2024年天津市）

已知i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5-2i)=________.

答案解析

7-√5i

【解析】

解答过程见word版

讨论

高中数学

一个五面体ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，并已知AD=1,BE=2,CF=3，则该五面体的体积为【】

已知双曲线x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1 F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为【】

已知函数f(x)=sin3(ωx+π/3)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间[-π/12,π/6]上的最小值是【】

设m,n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论正确的是【】

若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.2⁡0.2，则a,b,c的大小关系为【】

下列函数是偶函数的为【】

下列图中，相关性系数最大的是【】

设a,b∈R，则“a³=b³”是“3a=3b”的【】

集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}，则A∩B=【】

对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，定义s(x)=(x-a)²+(f(x)-b)² ，若点P(x0 ,f(x0 ))是s(x)取到最小值的点，则称点P是M在f(x)的“最近点”.(1)对于f(x)=1/x(x>0)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得P是M在f(x)的“最近点”；(2)对于f(x)=ex,M(1,0)，请判断是否存在一个点P，它是M在f(x)的“最近点”，且直线MP与y=f(x)在P处的切线垂直；(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x)，函数g(x)在定义域R上恒正，设点M1 (t-1,f(t)-g(t)),M2 (t+1,f(t)+g(t))，若对任意t∈R，存在点P同时是M1,M2在f(x)的“最近点”，试判断f(x)的单调性.

复数的运算

设z=5+i，则i(z ̅+z)=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

已知z/i=i-1，则z=【】

已知虚数z，其实部为1，且z+2/z=m(m∈R)，则实数m为______.

求1的三次根（实根和虚根），证：任一虚根的平方等于另一虚根，且((-1+i√3)/2)n+((-1-i√3)/2)n=-1，式中n为整数，唯不能为3的倍数.

(sinθ +icosθ)n = sinnθ +icosnθ.

已知z=(1-i)/(2+2i)，则z-z ̅=【】

已知复数列{zn}满足：z1=√3/2,zn+1=zn ̅(1+zni)(n=1,2,⋯)其中i为虚单位.求z2021的值.

若 z = 1 +i，则|z2 −2z| =【】

i 是虚数单位, 复数 (8-i)/(2+i) = ________.

数系与复数

已知z=-1-i，则|z|=【】

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

求所有实数α满足：对任意正整数n，整数⌊α⌋+⌊2α⌋+⋯+⌊nα⌋均为n的倍数.(注：⌊z⌋表示小于等于z的最大整数.例如，⌊-π⌋=-4,⌊2⌋=⌊2.9⌋=2)

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于【】