高中数学-高考试题(山东大学 1949年数论)

问答题（1949年山东大学）

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

答案解析

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讨论

高中数学

讨论y=1/x² 所表示的轨迹，并作其图.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

若三直线aix+biy+ci=0(i=1,2,3)相交于一点，则=0.试证之.

过一点 (2,1)的直线与直线 2x - 3y + 12 = 0 成45°角，求直线方程.

一平面上有 10 点，除其中四点在一直线上外，其余各点无三点共线，问连接各点所成之直线共有若干条？

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

解方程x5-1=0.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

数论

一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【】

若整数m=paqbrc，其p,q,r为质数(primes), 试求m所有约数之个数.

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

表通常十进数 345 为二进数

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

若方程式ax³+3bx²+3cx+d=0有二相等之根，则其系数间之关系为(bc-ad)²=4(ac-b²)(bd-c²)试证之.

山东大学行列式

数系与复数

求(1-2i)5的实部.

若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为__________________.

若i(i-z)=1，则z ̅+z=【】

若z=-1+√3 i，则z/(zz ̄-1)=【】

若z=1+i．则|iz+3z ̄|=【】

已知z=1-2i，且z+az ̄+b=0，其中a，b为实数，则【】

设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则【】

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则【】

已知z=1+i（其中i为虚单位），则2z ̅=________.