高中数学-考研试题(管理综合 2023年数论)

单项选择（2023年管理综合）

一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【】

A、1

B、2

C、3

D、4

E、5

答案解析

D

讨论

并集

已知集合 U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2}, 则 CU (A ∪ B) =【】

已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=【】

设集合 A = {x | 1 ⩽ x ⩽ 3}, B = {x | 2 < x < 4}, 则 A ∪ B =【】

设 A 表示有理数的集合, B 表示无理数的集合，即设 A =｛有理数｝ , B ={无理数｝，试写出：1. A∪B ; 2 . A∩B .

设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=【】

设全集I为自然数集N，E={2n|n∈N}，F={4n|n∈N}，那么集合N可以表示成【】

设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A ̅∪B ̅=【】

设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=【】

跳水比赛中，裁判给某选手的一个动作打分，其平均值为 8.6，方差为 1.1，若去掉一个最高分9.7 和一个最低分 7.3，则剩余得分的【】

在矩形ABCD中，AD=2AB，E，F分别为AD，BC的中点，从A、B、C、D、E、F中任选三个点，则这三个点为顶点可组成的直角三角形的概率【】

数论

Fix integers a and b greater than 1. For any positive integer n, let rn be the (non-negative) remainder that bn leaves upon division by an. Assume there exists a positive integer N such that rn<2n/n for all integers n≥N.Prove that a divides b.给定大于1的整数a和b.对任意的正整数n，记rn为bn除以an的非负余数.若存在正整数N，使得对任意的n≥N，都有rn<2n/n.证明：a整除b.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

设有理数r=p/q∈(0,1)，其中p,q为互素的正整数，且pq整除3600.这样的有理数r的个数为________.

给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak.证明：至多有有限个k元整数组(n1,n2,⋯,nk)，满足n1,n2,⋯,nk互不相同，且a1∙n1 !+a2∙n2 !+⋯+ak∙nk !=0.

设整数n≥4.证明：若n整除2n-2，则(2n-2)/n是合数.

Let m<n be positive integers. Start with n piles, each of m objects. Repeatedly carry out the following operation: choose two piles and remove n objects in total from the two piles. For which (m ,n) is it possible to empty all the piles?【译】设正整数m<n.起初一共有n 堆石子，每堆有 m块石子. 重复执行以下操作: 选择两堆石子，从这两堆中移除共n 块石子.问：对于怎样的 (m , n)，可以移除所有石子?

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

In the sequence 7,76,769,7692,76923,769230,… ,the nth term is given by the first n digits after the decimal point in the expansion of 10/13=0.7692307692⋯.Prove that of the first 60 terms of the sequence, at least 49 have three or more prime factors (repeated prime factors are allowed; for example, 76=2×2×19 has three prime factors).【译】在10/13=0.7692307692⋯的十进制表示中，由小数点后的前n位数构成数列：7,76,769,7692,76923,769230,… ,求证：在该数列的前60项中，至少有49项有三个或以上的素因子(包含重复的素因子，例如76=2×2×19有三个素因子).

解方程

有二位数字之数，其数等于各位数字之和之五倍，又此数加 9，则此数数字之顺序颠倒，求此数.

有人持钱购物，初用去其三分之一，又用其剩余者八分之五，尚余铜元30枚问其人原持钱若干?

求解 (4x-17)/(x-4)+(10x-13)/(2x-3)=(8x-30)/(2x-7)+(5x-4)/(x-1)

解x+y+=a,x-y+=b.

二水管齐开需72/7点钟装满一水池，若大管独开则较小管独开所需之时少 6点钟，试求每水管独开需若干点钟可装满此水池。

解下列方程式Ax2+2Bx+2(B-A)=0，并证明其根恒为实数.

欲使方程式Mx2+2(M-1)x+4M=0有实根，M之值当如何?

梨 10个柿8个较梨8个柿 10个少 30文，而梨柿各一个共钱 55 文，问梨柿每个价若干.

解1/(1+2x)-2/(2+3x)+3/(3+3x)-4/(4+4x)=0.

有甲、乙二书记，甲每写3页.乙能写4页，甲日写8点钟，10日之间已写 480页.问乙欲 15 日之力写完 720 页，每日须写几点钟.