高中数学-高考试题(北京师范大学 1919年8月解方程)

问答题（1919年8月北京师范大学）

有人持钱购物，初用去其三分之一，又用其剩余者八分之五，尚余铜元30枚问其人原持钱若干?

答案解析

.30÷[(1-1/3)×(1-5/8)]

=30÷1/4

=120(枚)

答：其人原持钱120枚.

讨论

映射与函数

已知函数f(x)=，则f(f(1/2))=________；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大值是_________．

已知函数f(x)的定义域为[0,+∞)，且满足f(x)=f(1/(1+x))，记函数的值域为Af，若a>0，满足{y│y=f(x),x∈[0,a] }=Af，则实数a的取值范围为__________.

设函数f(x)的定义域是[0,1]，求函数f(x2)的定义域.

设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).

函数y=/(x+2)的定义域是____________.

设函数f(x)=x2 + x + 1/2的定义域是[n,n+1]( n是自然数)，那么f(x)的值域中共有______个整数.

某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t-8)(x≥9,t≥0),Q=500(8≤x≤14).当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元函数是|a|则集合B中元素的个数是【】

已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.（Ⅰ）求x1,x2和xn的表达式；（Ⅱ）求f(x)的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是【】

解方程

解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).

解方程9-x - 2∙31-x = 27.

设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式；(Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik 上有两个不相等的实根}.

方程=1/4的解是【】

曲线2y2 + 3x + 3 = 0与曲线x2 + y2 - 4x - 5 = 0 的公共点的个数是【】

方程(1+3-x)/(1+3x)=3的解是______.

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根a,β.证明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,β|<2.

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x) - x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a.(Ⅰ)当x∈(0,x1 )时，证明x<f(x)<x1；(Ⅱ)设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<x1/2.

设a,b,c为方程式x³+px+q=0之三根，Sn=an+bn+cn.(1)展开下列行列式为p,q之函数∆=(2)表明∆>0时，a,b,c为三个不同实根；∆<0时，a,b,c三根中有一为实根，其余为二相配虚根；∆=0时，a,b,c为三实根且至少有二根相等.

函数

若函数f(x)=为奇函数，求参数a的值为________.

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6-x).若将函数y=f(x)的图像向下平移m(m>0)个单位，经过点(3,0),(5,0)，求a与m的值；若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x).

已知c>0.设P：函数y=cx在R上单调递减.Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

函数f(x)=|x2-1|/x的图像为【】

已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.

设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【】

设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【】

已知函数 f(x) = 2ln x + 1.(1) 若 f(x) ⩽ 2x + c, 求 c 的取值范围;(2) 设 a > 0, 讨论函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 的单调性.

已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.

若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【】