问答题(2020年全国Ⅲ(文)

已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.

(1) 讨论 f(x) 的单调性;

(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.

答案解析

(1) f′(x) = 3x2 − k.当 k = 0 时, f(x) = x3, 故 f(x) 在 (−∞, +∞) 单调递增;当 k < 0 时, f′(x) = 3x2 − k > 0, 故 f(x) 在 (−∞, +∞) 单调递增.当 k > 0 时, 令 f′(x) = 0, 得 x = ±.当 x ∈(−∞, −) 时, f′(x) > 0; 当 x ∈ (-, )时, f′(x) < 0; 当 x ∈ (, +∞) 时, f′(x) > 0. 故 f(x) 在 (−∞, −),( , +∞) 上单调递增,在(- , ) 上单调递减....

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