已知函数f(x)=ex/x-lnx+x-a．
（1）若f(x)≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1．
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问答题（2022年全国甲·理）
答案解析
（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f' (x)=(1/x-1/x2 ) ex-1/x+1=1/x (1-1/x) ex+(1-1/x)=(x-1)/x (ex/x+1)，令f'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1),f' (x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1,+∞),f' (x)>0,f(x)单调递增，f(x)≥f(1)=e+1-a，若f(x)≥0,则e+1-a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(-∞,e+1].（2）由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x1<1<x2要证x1 x2<1,即证x1<1/x2 .因为x1,1/x2 ∈(0,1),即证f(x1 )>f(1/x2 )因为f(x1 )=f(x2 ),即证f(x2 )>f(1/x2 )即证ex/x-lnx+x-xe1/x-lnx-1/x>0,x∈(1,+∞)即证ex/x-xe1/x-2[lnx-1/2 (x-1/x)]>0下面证明x>1时，ex/x-xe1/x>0,lnx-1/2 (x-1/x)<0.设g(x)=...
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设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图像为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上,f(x)=__________.
已知函数f(x)=x3(a∙2x - 2-x)是偶函数，则a=__________.
设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则f(9/2)=【 】
已知函数f(x)及其导函数 的定义域均为R，记g(x)=f' (x)，若f(3/2-2x)，g(2+x)均为偶函数，则【 】
若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则f(k)=【 】
已知函数的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)且x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是【 】
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
已知函数f(x)=(3-2x)/(x2+a).(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．
写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：____________，____________．
已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.
若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值，则【 】
用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。