已知函数f(x)=ex/x-lnx+x-a．
（1）若f(x)≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1．
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问答题（2022年全国甲·理）
答案解析
（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f' (x)=(1/x-1/x2 ) ex-1/x+1=1/x (1-1/x) ex+(1-1/x)=(x-1)/x (ex/x+1)，令f'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1),f' (x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1,+∞),f' (x)>0,f(x)单调递增，f(x)≥f(1)=e+1-a，若f(x)≥0,则e+1-a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(-∞,e+1].（2）由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x1<1<x2要证x1 x2<1,即证x1<1/x2 .因为x1,1/x2 ∈(0,1),即证f(x1 )>f(1/x2 )因为f(x1 )=f(x2 ),即证f(x2 )>f(1/x2 )即证ex/x-lnx+x-xe1/x-lnx-1/x>0,x∈(1,+∞)即证ex/x-xe1/x-2[lnx-1/2 (x-1/x)]>0下面证明x>1时，ex/x-xe1/x>0,lnx-1/2 (x-1/x)<0.设g(x)=...
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已知函数f(x)及其导函数 的定义域均为R，记g(x)=f' (x)，若f(3/2-2x)，g(2+x)均为偶函数，则【 】
若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则f(k)=【 】
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【 】
已知 y = f(x) 是奇函数, 当 x ⩾ 0 时, f(x) = x2/3 , 则 f(−8) 的值是______.
下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0,π/2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数【 】
F(x)=(1+)f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)【 】
定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么【 】
设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于【 】
函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.
设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.
已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x)，函数y=y(x)的图像斜率恒不为0，则10y(√2)的值为________.