高中数学-高考试题(全国新课程 2000年导数的应用)

问答题（2000年全国新课程）

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。

答案解析

设容器底面短边长xm，则另一边长为(x+0.5) m，高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=3.2-2x.由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6).整理，得y=-2x3+2.2x3+1.6x,∴y'=-6x2+4.4x+1.6.令y'=0，有-6x2+4.4x+...

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讨论

函数的极值与最值

求(x+2)/(2x²+3x+6)之最大值.

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本速度(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流人,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问:当a，b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?

某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆(如图，AD和DC为墙)，问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

设α=sin2k⁡(π/6) ，函数g:[0,1]→R定义为g(x)=2αx+2α(1-x).下列叙述正确的有【】

设(a-1)(b-1)>0,a,b,θ皆为实数，求(a+cosθ)(b+cosθ)/(1+cosθ)之极小值.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)=f(1)∙x+f(2)/x-1，则f(x)在(0,+∞)上的最小值为__________.

在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:，(k > 0).求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

导数的应用

曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].求证: n − m ⩽.

已知曲线y=x3-6x2+11x-6. 在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值.

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

证明：当0<x<1时，x-x²<sinx<x.

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围．

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b)．证明：（ⅰ）若a>e，则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)；（ⅱ）若0<a<e,x1<x2<x_3，则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 )．（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）

已知函数f(x)=ln⁡x/(2-x)+ax+b(x-1)³.(1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线f(x)为中心对称函数；(3)若f(x)>-2，当且仅当1<x<2，求b的取值范围.

导数与微分

求y=xarctanx2的导数.

求极限(1-1/2x)x.

设y=xln(1+x2)，求y'.

设β=，则6β的值为______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

(n+1)/(3n+2)=________.

求y=cos2 的导数.