高中数学-高考试题(天津市 2020年变化率与导数)

问答题（2020年天津市）

已知函数 f(x)=x³+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.

(I) 当 k = 6 时,

(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;

(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;

(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x₁, x₂ ∈ [1, +∞), 且 x₁ > x₂, 有f'(x₁+x₂)/2 > (f(x₁ )-f(x₂))/(x₁-x₂ ) .

答案解析

(I) (i) 当 k = 6 时, f(x) = x3 + 6lnx, 故f' (x)=3x2+6/x , 可得 f(1) = 1, f′(1) = 9. 所以曲线 y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y − 1 = 9(x − 1), 即 y = 9x − 8.(ii) 依题意, g(x)=x3-3x2+6lnx+3/x, x ∈ (0, +∞), 从而可得g'(x)=3x2-6x+6/x-3/x2 , 整理可得g' (x)=3(x-1)3 (x+1)/x2 .令 g′(x) = 0, 解得 x = 1. 当 x 变化时, g′(x), g(x) 的变化情况如下表: 所以, 函数 g(x) 的单调递减区间为 (0, 1), 单调递增区间为 (1, +∞); g(x) 的极小值为 g(1) = 1, 无极大值.(II) 由 f(x)=x3+klnx, 得 f'(x)=3x2+x/k. 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 令 x1/x2 =t (t > 1), 则(x1-x2 )(f' (x1)+f' (x2 ))-2(f(x1)-f(x2)) =(x1-x2)(3+k/x1 +3+k/x2 )-2(-+kln x1/x2 )=--3 x2+3x1+k(x1/x2 -x2/x1 )-2klnx1/x2 =(t3-3t2...

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讨论

高中数学

已知 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), b5 = 4(b4 − b3).(I) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;(II) 记 {an} 的前 n 项和为 Sn, 求证: SnSn+2 < Sn+12 (n ∈ N∗);(III) 对任意的正整数 n, 设 cn = .求数列 {cn} 的前 2n 项和.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

在 △ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a = 2√2, b = 5, c = .(I) 求角 C 的大小;(II) 求 sin A 的值;(III) 求 sin⁡(2A+π/4) 的值.

如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B = 60º, AB = 3, BC = 6, 且 =λ, ·= -3/2, 则实数 λ 的值为_____, 若 M, N 是线段 BC 上的动点, 且 || = 1, 则· 的最小值为______.

已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1/2和 1/3. 假定两球是否落入盒子互不影响, 则甲、乙两球都落入盒子的概率为______; 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.

已知直线 x − y + 8 = 0 和圆 x2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于 A, B 两点. 若 |AB| = 6, 则 r 的值为______.

在(x+2/x2 )5的展开式中, x2的系数是 ________.

i 是虚数单位, 复数 (8-i)/(2+i) = ________.

变化率与导数

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln⁡(x+1)+a的切线，则a=______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为【】

从一批零件中抽取 80 个, 测量其直径 (单位: mm), 将所得数据分为 9 组: [5.31, 5.33], [5.33, 5.35], · · · ,[5.45, 5.47], [5.47, 5.49], 并整理得到如下频率分布直方图, 则在被抽取的零件中, 直径落在区间 [5.43, 5.47] 内的个数为【】

从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：[60,70],[70,74],…,[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82.86)内的影视作品数量为【】

甲、乙两人在毎次猜谜语活动中各猜—个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中,甲乙猜对的概率分别为5/6和3/5，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为__________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为__________.

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.

52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为______;已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为______.

导数与微分

曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

已知函数 f(x) = aex−1 − ln x + ln a.(1) 当 a = e 时, 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若 f(x) ⩾ 1, 求 a 的取值范围.

已知函数 f(x) = 12 − x2.(I) 求曲线 y = f(x) 的斜率等于 −2 的切线方程;(II) 设曲线 y = f(x) 在点 (t, f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t), 求 S(t) 的最小值.

证明：当0<x<1时，x-x²<sinx<x.

利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.

已知函数f(x)=x3-x+1，则【】

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

写出曲线y=ln⁡|x|过坐标原点的切线方程：____________，____________．

当x=1时，函数f(x)=a ln⁡x+b/x取得最大值-2，则f'(2)=【】