高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2024年变化率与导数)

填空题（2024年新高考Ⅰ）

若曲线y=e^x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln⁡(x+1)+a的切线，则a=______.

答案解析

ln2

【解析】

解答过程见word版

讨论

高中数学

设双曲线x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2作平等于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为______.

造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则【】

设函数f(x)=(x-1)² (x-4)，则【】

为了推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值为x ̅=2.1，样本方差为x²=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布 N(1.8,0.1²),假设推动出口后的亩收Y服从正态分布N(Y ̅,S²)，则【】（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ²)，则P(Z<μ+σ)≈0.8413）

已知函数的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)且x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是【】

当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=sin⁡(3x-π/6)的交点个数为【】

当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=sin⁡(3x-π/6)的交点个数为【】

已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是【】

已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为【】

已知cos⁡(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos⁡(α-β)=【】

变化率与导数

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

设m为正整数，数列a1,a2,⋯,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj (i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,⋯,a4m+2是(i,j)—可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列a1,a2,⋯,a6是(i,j)—可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,⋯,a4m+2是(2,13)—可分数列；(3)从1,2,⋯,4m+2中一次任取出两个数i和j(i<j)，记数列a1,a2,⋯,a4m+2是(i,j)—可分数列的概率为Pm，证明：Pm>1/8.

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。

若i(i-z)=1，则z ̅+z=【】

(1-y/x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．

已知z=(1-i)/(2+2i)，则z-z ̅=【】

记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Sn/n}为等差数列，则【】

导数与微分

已知f(x)为多项式函数，g(x)定义如下：g(x)=关于函数h(x)=g(x+t)×g(x+t)，下列说法正确的是【】甲：h(1)=3乙：h(x)在全体实数上连续丙：若g(x)在区间[-1,1]上单调递减，且g(-1)=-2，则h(x)在全体实数上有最小值.

对于函数f(x)，已知f'(x)=4x3-2x，且f(0)=3，求f(2)的值.

设α为正实数，函数f:R→R和g:(α,+∞)→R分别定义为f(x)=sin⁡(πx/12)和g(x)=2ln⁡(√x-√α)/ln⁡(e√x-e√α)，则f[g(x)]=__________.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞)，下列叙述正确的有【】

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

设β=，则6β的值为______.

对于x∈R，微分方程dy/dx+12y=cos⁡(πx/12),y(0)=0的解为y(x)，下列叙述正确的有【】

对于正整数n定义f(n)=n+(16+5n-3n²)/(4n+3n²)+(32+n-3n²)/(8n+3n²)+(48-3n-3n²)/(12n+3n²)+⋯+(25n-7n²)/(7n²)，则f(n)的值为【】

利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.

河南省微积分