设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.
(1) 求 b;
(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.
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问答题（2020年全国Ⅲ(理)）
答案解析
(1) f′(x) = 3x2 + b, 依题意得 f′(1/2)= 0, 即 3/4 + b = 0, 故 b = −3/4.(2) 由 (1) 知 f(x) = x3 − 3/4x + c, f′(x) = 3x2 − 3/4. 令 f′(x) = 0, 解得 x = −1/2 或 x =1/2.f′(x) 与 f(x) 的情况为:因为 f(1) = f(-1/2) = c + 1/4, 所以当 c < -1/4 时, f(x) 只有大于 1 的零点.因为 f(−1) = f(1/2) = c - 1/4,, 所...
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设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.
已知 55 < 84, 134 < 85. 设 a = log53, b = log85, c = log138, 则【 】
若直线 l 与曲线 y = 和圆 x2 + y2 = 1/5 相切, 则 l 的方程为【 】
已知 2tanθ − tan(θ + π/4) = 7, 则 tanθ =【 】
在 △ABC 中, cosC = 2/3 , AC = 4, BC = 3, 则 cosB =【 】
已知向量 a, b 满足 |a| = 5, |b| = 6, a · b = −6, 则 cos⟨a, a + b⟩ =【 】
在一组样本数据中, 1, 2, 3, 4 出现的频率分别为 p1, p2, p3, p4, 且=1, 则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是【 】
若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=______.
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.
已知函数 f(x) = sinx + 1/sinx, 则【 】
已知集合 A = {(x, y) | x, y ∈ N∗, y ⩾ x} , B = {(x, y) | x + y = 8 }, 则 A ∩ B 中元素的个数为【 】
对于一个实数x，令{x}=x-[x]. 记S=min({x/8},{x/4}) dx，则[S]=______.
曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.
设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.
利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.
当x=1时，函数f(x)=a lnx+b/x取得最大值-2，则f'(2)=【 】
已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围．