单项选择(2020年新高考Ⅰ·理

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。

A、y = −2x − 1

B、y = −2x + 1

C、y = 2x − 3

D、y = 2x + 1

答案解析

B

【解析】

已知函数 f(x) = x4 − 2x3, 则 f ′(x) = 4x3 − 6x2.

由导数的几何意义知在点 (1, f(1)) 处的切线的斜率为 k = f ′(1) = −2.

又因为 f(1) = −1, 由直线方程的点斜式得切线方程为: y − (−1) = −2(x − 1), 化简得 y = −2x + 1.

讨论

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为2/3AP,直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时,点P的速度为v,求这时点M的速度.

(1-y/x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________(用数字作答).

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______________.

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好病例组 40 60对照组 10 90(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄);(ⅱ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.附:K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+3/2.

已知z=(1-i)/(2+2i),则z-z ̅=【 】

记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{Sn/n}为等差数列,则【 】

有一组样本数据x1,x2,⋯,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则【 】

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)

设f(x)=ex-asinx,g(x)=b√x.(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)若y=f(x)与y=g(x)有公共点,ⅰ)当a=0时,求b的取值范围;ⅱ)求证:a2+b2>e.

过点(0,4)作曲线y=x3-x+2的切线,这条切线在x轴上的截距为【 】

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A,这两条曲线与直线x=2围成的面积为B,如图所示,若A=B,则k的值为【 】

定义在全体实数上的连续函数f(x)满足下列条件:当n-1≤x<n时,|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|( n正整数)定义在开区间(0,4)上的函数g(x)=f(t)dt-f(t)dt.若g(x)在x=2处取得最小值0,则f(x)dx的值为【 】

已知f(x)为多项式函数,g(x)定义如下:g(x)=关于函数h(x)=g(x+t)×g(x+t),下列说法正确的是【 】甲:h(1)=3乙:h(x)在全体实数上连续丙:若g(x)在区间[-1,1]上单调递减,且g(-1)=-2,则h(x)在全体实数上有最小值.

设α为正实数,函数f:R→R和g:(α,+∞)→R分别定义为f(x)=sin⁡(πx/12)和g(x)=2ln⁡(√x-√α)/ln⁡(e√x-e√α),则f[g(x)]=__________.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞),下列叙述正确的有【 】