高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2024年等差数列)

问答题（2024年新高考Ⅰ）

设m为正整数，数列a₁,a₂,⋯,a_4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j (i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁,a₂,⋯,a_4m+2是(i,j)—可分数列.

(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列a₁,a₂,⋯,a₆是(i,j)—可分数列；

(2)当m≥3时，证明：数列a₁,a₂,⋯,a_4m+2是(2,13)—可分数列；

(3)从1,2,⋯,4m+2中一次任取出两个数i和j(i<j)，记数列a₁,a₂,⋯,a_4m+2是(i,j)—可分数列的概率为P_m，证明：P_m>1/8.

答案解析

解答过程见word版

讨论

古典概型

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 240 20B 210 30（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，P(K2⩾k) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635

52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为______;已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为______.

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？

有6张卡片，正面分别写有数字1~6，背面都写有数字0.起初将这些卡片正面朝上排成一排，且第k个位置上的卡片恰写有数字k.下面利用这6张卡片和一枚均匀的骰子进行如下实验：掷出骰子，若点数为k，则将第k个位置上的卡片翻面，放在原处。进行上述实验3次，若卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为1的概率为q/p.求p+q的值(p,q为互质整数)

假设P1,P2两人进行比赛，每回合两人分别投掷一枚均匀的骰子，设x,y分别为P1,P2投出的点数，若x>y，记P1得5分，P2得0分；若x=y，记P1,P2均得2分；若x<y，记P1得0分，P2得5分.设Xi,Yi分别为第i回合后P1,P2的总得分.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)P(X2≥Y2 )= (P) 3/8(Ⅱ)P(X2>Y2 )= (Q) 11/16(Ⅲ)P(X3=Y3 )= (R) 5/16(Ⅳ)P(X3>Y3 )= (S) 355/864 (T) 77/432正确的选项为【】

掷骰一粒，连掷十次，求掷得四次六点之几率.

一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.随机抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a1,a2,a3，则事件|a1-a2 |+|a2-a3 |+|a3-a1 |=6发生的概率为__________.

将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为【】

等差数列

设l1,l2,⋯,l100是公差为d1的等差数列的前100项，w1,w2,⋯,w100是公差为d2的等差数列的前100项，且d1 d2=10.设Ai表示边长分别为li和wi的矩形的面积，若A51-A50=1000，则A100-A90的值为__________.

设a1,a2,⋯为首项为7，公差为8的等差数列，对于∀n≥1,T1,T2,⋯满足T1=3,Tn+1-Tn=an，则以下选项正确的是【】

Find the sum of the arithmetical series 49,44,39,… to 17 terms.

在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？

已知{an }为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．（1）证明：a1=b1；（2）求集合{ k| bk=am+a1,1≤m≤500}中元素个数．

记Sn为数列{an }的前n项和．已知2Sn/n+n=2an+1．（1）证明：{an }是等差数列；（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=__________．

已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1．记{an}的前n项和为Sn(n∈N* )．（1）若S4-2a2 a3+6=0，求Sn；（2）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．

已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有________个。

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=【】

数列

已知a,a∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+bx(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是【】

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9/4，且4Sn+1=3Sn-9.(1)求数列{an}的通项；(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4) an=0，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λbn对任意n∈N*恒成立，求λ的范围.

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+ ，b2=1+，b3=1+，…，依此类推，其中αk∈N* (k=1,2,⋯)．则【】

己知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列；③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于1/100的项．其中所有正确结论的序号是__________．

已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j (j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n，则称Q为m-连续可表数列．（1）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若Q:a1,a2,⋯,ak为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若Q:a1,a2,⋯,ak为20-连续可表数列，且a1+a2+⋯+ak<20，求证：k≥7．

已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-1/3 an2 (n∈N* )，则【】

数列{an}中，a1=1,a2=3，若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.(1)求a4的所有可能值.(2)命题p：若a1,a2,a3,…,a8成等差数列，则a9<30，证明命题p为真；写出p的逆命题q，并判断q的真假，若命题q为真则证明，若命题q为假，请举出反例.(3)若对任意正整数m,a2m=3m，求数列{an}的通项公式.

(I)设{an}是集合{2t+2s |0≤s<t,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(ii)求a100.(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分)设{bn}是集合{2t+2s+2r |0≤r<s<t,r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k.

设正数数列{an}满足：a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

设正数数列{an },{bn}满足：a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值，其中m是给定的正整数.