高中数学-高考试题(北京市 2022年数列与推理)

填空题（2022年北京市）

己知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和S_n满足a_n⋅S_n=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：

①{a_n}的第2项小于3； ②{a_n}为等比数列；

③{a_n}为递减数列； ④{a_n}中存在小于1/100的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

答案解析

①③④由题意可知，∀n∈N*，an>0，当n=1时，a12=9，可得a1=3；当n≥2时，由Sn=9/an可得Sn-1=9/an-1 ，两式作差可得an=9/an-9/an-1 ，所以，9/an-1 =9/an-an，则9/a2-a2=3，整理可得a22+3a2-9=0，因为a2>0，解得a2=(3√5-3)/2<3，①对；假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a22=a1a3，即(9/S2)2=81/(S1S3 )，所以，S22=S1S3，可...

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讨论

高中数学

设函数f(x)=若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

若函数f(x)=Asin⁡x-√3cos⁡x的一个零点为π/3，则A=________；f(π/12)=________．

已知双曲线y2+x2/m=1的渐近线方程为y=±√3/3 x，则m=__________．

函数f(x)=1/x+的定义域是_________．

在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则(PA)⋅(PB)的取值范围是【】

已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={ Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为【】

若(2x-1)4=a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0，则a0+a2+a4=【】

在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg⁡P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是【】

设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的【】

已知函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x，则【】

数列

设 {an} 是等比数列, 且 a1 + a2 + a3 = 1, a2 + a3 + a4 = 2, 则 a6 + a7 + a8 =【】

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N∗).(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N∗.

全国统考数列极限

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.

设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1/(1+b)n ，其中b是与n无关的常数，且b≠1.(1) 求an与an-1的关系；(2) 写出用n和b表示an的表达式；(3) 当0<b<1时，求极限Sn .

是否存在常数a,b,c使得等式1∙22+2∙32+⋯+n∙(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(I)写出数列{an}的前3项;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(Ⅲ)令bn=1/2(an+1/an +an/an+1 )(n∈N),求(b1+b2+⋯+bn-n).

等比数列{an}的首项a1=-1，前n项和为Sn，若S10/S5 =31/32,则Sn 等于【】

数列与推理

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N)，则|a1|+|a2|+⋯+|a15|=______.

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.

数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+⋯+an=100，则n的最大值为【】

定义Rp数列{an}：对p∈R满足：①a1+p≥0,a2+p=0；②∀n∈N*,a4n-1<a4n；③∀m,n∈N*,am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若{an}是R0数列，求a5的值；(3)是否存在p∈R,使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N*满足Sn≥S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.

已知ai∈N* (i=1,2,…,9)对任意的k∈N* (2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立，a1=6,a9=9，则a1+⋯+a9的最小值为__________.

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列；(ii)证明<2√2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N* ).记{an}的前n项和为Sn，则【】

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9/4，且4Sn+1=3Sn-9.(1)求数列{an}的通项；(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4) an=0，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λbn对任意n∈N*恒成立，求λ的范围.