高中数学-高考试题(全国统考 1994年数列与推理)

问答题（1994年全国统考）

设{a_n}是正数组成的数列,其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n, a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

(I)写出数列{a_n}的前3项;

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式(写出推证过程);

(Ⅲ)令b_n=1/2(a_n+1/a_n +a_n/a_n+1 )(n∈N),求(b₁+b₂+⋯+b_n-n).

答案解析

(I)由题意，当n=1时有(a1+2)/2=,S1=a1,∴(a1+2)/2=,解得a1=2.当n=2时有(a1+2)/2=,S1=a1+a1.将a1=2代入，整理得(a1-2)2=16.由a1>0，解得a1=6.当n=3时有(a3+2)/2=, S1=a1+a1+a3.将a1=2,a1=6代入，整理得(a3-2)2=64.由a3>0，解得a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(Ⅱ)由(I)猜想数列{an}的通项公式an=4n-2.由题意，有(an+2)/2=(n∈N),整理得Sn=1/8 (an+2)2,由此得Sn+1=1/8 (an+1+2)2,∴ an+1=Sn+1-Sn=1/8[(an+1+2)2-(an+2)2],整理得...

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讨论

数列极限

全国统考数列极限

求极限⁡[1/(n2+1)+2/(n2+1)+3/(n2+1)+⋯2n/(n2+1)].

[n(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)…(1-1/(n+1))]的值等于【】

极限(C22+C32+C42+⋯+Cn2)/(n(C21+C31+C41+⋯+Cn1))=【】

已知等比数列{an}的公比q>1，并且a1=b(b≠0)，求⁡(a1+a2+a3+⋯+an)/(a6+a7+a8+⋯+an ).

已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9，且Sn=a1+a2+⋯+an，那么Sn 的值等于【】

已知{an}是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么⁡(nan)/Sn )等于______.

湖南省数列极限

已知等差数列前三项为a,4,3a前n项的和为Sn，Sk=2550.(Ⅰ)求a及k的值,(Ⅱ)求 (1/S1 +1/S2 +⋯+1/Sn ).

在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=1/a1 ，那么a1的取值范围是【】

数列

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

已知ai∈N* (i=1,2,…,9)对任意的k∈N* (2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立，a1=6,a9=9，则a1+⋯+a9的最小值为__________.

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列；(ii)证明<2√2.

己知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列；③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于1/100的项．其中所有正确结论的序号是__________．

已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j (j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n，则称Q为m-连续可表数列．（1）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若Q:a1,a2,⋯,ak为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若Q:a1,a2,⋯,ak为20-连续可表数列，且a1+a2+⋯+ak<20，求证：k≥7．

已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-1/3 an2 (n∈N* )，则【】

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数，何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)

数列与推理

证明：(+1)(+1)⋯(+1)=(-1)/(x-1)

等差级数，等比级数以及调和级数各项的倒数各成什么级数?

问θ为何种数值时，sinθ+sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ+⋯成一收敛级数.

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

若a1,a2,⋯,an为已知正数，试求atctan(a1-a2)/(1+a1 a2)+atctan(a2-a3)/(1+a2 a3)+⋯+atctan(an-1-an)/(1+an-1 an)的值.

级数1!/102 -2!/103 +3!/104 -⋯是收敛的还是发散的？

已知一级数第n项为lg⁡，试求此级数前几项之和.

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.

数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【】