高中数学-高考试题(北京师范大学 1949年数列与推理)

证明题（1949年北京师范大学）

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

答案解析

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讨论

高中数学

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

解方程x5-1=0.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

设D为△ABC一边BC之中点，证AD²=1/4(2AB²+2AC²-BC²)

若A+B+C=180°,证：sin⁡(B+2C)+sin⁡(C+2A)+sin⁡(A+2B)=4 sin⁡1/2(B-C)∙sin⁡1/2 (C-A)∙sin⁡1/2(A-B)

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

解方程x²+4x-1+=0

问θ为何种数值时，sinθ+sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ+⋯成一收敛级数.

从一抛物线之焦点引各切线之垂线，试求其垂足之轨迹.

二直线x+y+4=0,x-y=0各与圆x²+y²-2x+4y-4=0相交，且所围成之二弓形面积相等，试证明之.

数列

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

已知 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), b5 = 4(b4 − b3).(I) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;(II) 记 {an} 的前 n 项和为 Sn, 求证: SnSn+2 < Sn+12 (n ∈ N∗);(III) 对任意的正整数 n, 设 cn = .求数列 {cn} 的前 2n 项和.

已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N∗).(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N∗.

试问数列：lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin2π/4),⋯,lg⁡(100sinn-1π/4)，前多少项的和的值最大？并求出这大值（这里取lg2=0.301）

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）.设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,...uk=ak-ak-1b+ak-2b2-...+(-1)kbk;求证：un=un-1+un-2 (n≥3).

已知数列a1,a2,⋯an,⋯和数列b1,b2,⋯bn,⋯，其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1 (n≥2)（p,q,r是已知常数，且q≠0,p>r>0）.(1) 用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明；(2) 求.

已知数列{an}的首项a1=b(b≠0)，它的前n项的和Sn=a1+a2+⋯+an (n≥1)，并且S1,S2,⋯,Sn,⋯是一个等比数列，其公比为p(p≠0，且|p|<1).(Ⅰ) 证明：a2,a3,⋯,an,⋯（即{an}从第2项起）是一个等比数列.(Ⅱ) 设Wn=a1 S1+a2 S2+⋯+an Sn (n≥1)，求Wn（用b,p表示）.

全国统考数列与推理

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85，n∈N*.（Ⅰ）证明：{an - 1} 是等比数列；（Ⅱ）求数列{Sn}的通项公式。请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.

数列与推理

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.

设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1/(1+b)n ，其中b是与n无关的常数，且b≠1.(1) 求an与an-1的关系；(2) 写出用n和b表示an的表达式；(3) 当0<b<1时，求极限Sn .

是否存在常数a,b,c使得等式1∙22+2∙32+⋯+n∙(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N)，则|a1|+|a2|+⋯+|a15|=______.

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.

数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+⋯+an=100，则n的最大值为【】

定义Rp数列{an}：对p∈R满足：①a1+p≥0,a2+p=0；②∀n∈N*,a4n-1<a4n；③∀m,n∈N*,am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若{an}是R0数列，求a5的值；(3)是否存在p∈R,使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N*满足Sn≥S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.