问答题(1987年全国统考

设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1/(1+b)n ,其中b是与n无关的常数,且b≠1.

(1) 求an与an-1的关系;

(2) 写出用n和b表示an的表达式;

(3) 当0<b<1时,求极限img01.pngSn .

答案解析

(1) an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1 )-1/(1+b)n +1/(1+b)n-1 =-b(an-an-1 )+b/(1+b)n (n≥2),由此得an=b/(1+b) an-1+b/(1+b)n+1 (n≥2) ①(2) ∵ a1=S1=-ba1+1-1/(1+b),∴ a1=b/(1+b)2 . ②an=b/(1+b) [b/(1+b) an-2+b/(1+b)n ]+b/(1+b)n+1 =(b/(1+b))2 an-2+(b+b2)/(1+b)n+1 =(b/(1+b))2 [b/(1+b) an...

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讨论

若a1,a2,⋯,an为已知正数,试求atctan(a1-a2)/(1+a1 a2)+atctan(a2-a3)/(1+a2 a3)+⋯+atctan(an-1-an)/(1+an-1 an)的值.

级数1!/102 -2!/103 +3!/104 -⋯是收敛的还是发散的?

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数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【 】

0−1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 序列 a1a2 · · · an · · · 满足 a1 ∈ {0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整 数 m, 使得 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为 0−1 周期数列, 并称满足 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小正整数 m 为这个序列的周期. 对于周期为 m 的 0−1 序列 a1a2 · · · an · · · , C(k) =(k = 1, 2, · · · , m−1)是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 0 − 1 序列中, 满足 C(k) ⩽ 1/5(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是【 】

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