高中数学-高考试题(中央大学 1947年数列与推理)

证明题（1947年中央大学）

设a₁,a₂,a₃,⋯,a_n成调和级数，试证：

a₁ a₂+a₂ a₃+a₃ a₄+⋯+a_n-1 a_n=(n-1) a₁ a_n

答案解析

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讨论

高中数学

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数，何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)

已知齐次方程组式中A,B,C为三参数.(1)求此方程组x=y=z=0之一组解答外，有其他解答时A,B,C间之关系.(2)求证A+B+C=π时，x,y,z恰为一三角形之三边.

设a,b,c为方程式x³+px+q=0之三根，Sn=an+bn+cn.(1)展开下列行列式为p,q之函数∆=(2)表明∆>0时，a,b,c为三个不同实根；∆<0时，a,b,c三根中有一为实根，其余为二相配虚根；∆=0时，a,b,c为三实根且至少有二根相等.

试解方程式 csc3θ + sec²θ = sinθcsc2θsec3θ.

以三角形各边为直径作圆，试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项.

试求(1+2x+10x2)10之展开式中x5之系数.

某人每年存定款入银行，年利率依复利计算，若干年后得本利和恰为定款 3 倍设年数加倍.得本利和为定款之 5 倍，但取款时不存入定款，问年利率若干?

设 P 为圆上之任意点，且 F 为一焦点，证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

数列

已知等差数列前三项为a,4,3a前n项的和为Sn，Sk=2550.(Ⅰ)求a及k的值,(Ⅱ)求 (1/S1 +1/S2 +⋯+1/Sn ).

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

极限(C22+C32+C42+⋯+Cn2)/(n(C21+C31+C41+⋯+Cn1))=【】

设正数数列{an },{bn}满足：a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值，其中m是给定的正整数.

在公比为正数的等比数列{an}中，a2+a4=30,a4+a6=15/2，则a1的值为【】

在各项均为正数，且满足下列条件的数列{an}中，a9可能的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为【】(1) a7=40(2)对于任意正整数n，an+2=

数列{an },{bn}满足(3ak+5)=55,(ak+bk)=32，求bk 的值.

有三数原成等比级数，其和为9/2.若第一数以2/3乘之，第二数以2/3乘之，第三数以16/27乘之，则成等差级数，问原三数各几何?

有半径为R之圆C，于其直径AB上取其半B1 B为直径作一圆C1，又取B1 B之半B2 B为直径作一圆C2，更取B2 B之半B3 B为直径作一圆C3，如是无限推之，求C1,C2,C3,⋯无穷个圆周之和.

Find the sum of n terms of the series whose nth term is 3(4n+4n²)-5n³.

数列与推理

求级数1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+⋯ n项及无穷项之和.其第n项为1/(2n-1)(2n+1).

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

已知数列{an}满足an+1=1/4 (an-6)³+6(n=1,2,3,⋯)，则【】

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.

数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【】

0−1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 序列 a1a2 · · · an · · · 满足 a1 ∈ {0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整数 m, 使得 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为 0−1 周期数列, 并称满足 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小正整数 m 为这个序列的周期. 对于周期为 m 的 0−1 序列 a1a2 · · · an · · · , C(k) =(k = 1, 2, · · · , m−1)是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 0 − 1 序列中, 满足 C(k) ⩽ 1/5(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是【】

如图, 将钢琴上的 12 个键依次记为 a1, a2, · · · , a12, 设 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ k ⩽ 12. 若 k − j = 3 且 j − i = 4, 则称 ai, aj, ak 为原位大三和弦; 若 k − j = 4 且 j − i = 3, 则称 ai, aj, ak 为原位小三和弦. 用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为【】

设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.