高中数学-高考试题(浙江大学 1947年椭圆)

证明题（1947年浙江大学）

设 P 为圆上之任意点，且 F 为一焦点，证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

答案解析

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讨论

圆锥曲线

如图，给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则1/p+1/q等于【】

下图中阴影部分的面积是【】

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线与A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴.证明AC经过原点O.

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P,Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⨀M与l相切.(1) 求C，⨀M的方程；(2) 设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与⨀M相切．判断直线A2A3与⨀M的位置关系，并说明理由．

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值.

已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M在C上，且|FM|=6，则M的横坐标是______；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=______.

如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2. (1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，斜率为2的直线l与MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N，且|RN|2=|PN|∙|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.

已知二次函数y=x2﹣6x+5.(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.

已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则【】

椭圆

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的离心率为1/3，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若(BA1)⋅(BA2)=-1，则C的方程为【】

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【】

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：-(a2 - b2)/a < x0 < (a2 - b2)/a.

如图，在面积为1的△PMN中，tanM=1/2,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

平面解析几何

求原点平移至(2,-5)后，曲线7x²+8y²-28x+80y+172=0之方程式.

A,B,C 为共线之三定点，动点 P 至A，B与 B，C 所张之角恒相等，试求 P 点之轨迹.

AB 为一圆之一条固定弦，R 是圆上之一运动的点，求三角形 ABR 的垂心的轨迹.

一圆的中心在直线 5x-3y-7=0 上，且经过两圆之交点,求此圆的方程式.

已知 ⊙M : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【】

已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【】

设向量 a = (1, −1), b = (m + 1, 2m − 4), 若 a ⊥ b, 则 m =______ .

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = ______.

已知单位向量 a, b 的夹角为 60°, 则下列向量中, 与 b 垂直的是【】