证明题(2001年全国统考

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明AC经过原点O.

参考答案

关键词

抛物线;直线;方程;斜率;数学;平面;解析几何;圆锥曲线;证明;

已知复数z1=i⁡(1-i)3.(Ⅰ)求argz1及|z1|;(Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|z - z1|的最大值.

如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2. (I)求四棱锥S-ABCD的体积;(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.

圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为__________.

设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=________.

双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为________.

若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是________.

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则【 】

设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:①若f(x)单调递增, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减;其中,正确的命题是【 】

在正三棱锥ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为【 】

设{cn},{bn}是公比不相等的两个比数列,cn =an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.

已知复数z=/2 - 1/2 i,ω=/2+/2 i.复数,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是在等腰直角三角形(其中O为原点).

如图,在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中,E∈BB1,截面A1 EC⊥侧面AC1 (Ⅰ)求证: BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1 B1,求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角(锐角)的度数. 注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:(如图)在截面A1 EC内,过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1;得BF//EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.(Ⅱ)解:

设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.(1)证明(lgSn+lgSn+2)/2<lgSn+1.(2)是否存在常数c>0,使得[lg(Sn-c)+lg⁡(Sn+2-c)]/2=lg(Sn+1-c)成立?并证明你的结论.

已知函数f(x)=tanx,x∈(0,π/2).若x1,x2∈(0,π/2),且x1≠x2,证明1/2 [f(x1)+f(x2)]>f((x1+x2)/2).

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根a,β.证明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,β|<2.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明:-(a2 - b2)/a < x0 < (a2 - b2)/a.

已知:两条异面直线a,b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a,b上分别取点E,F,设A1E=m,AF=n. 求证:EF=.

已知函数f(x)=(2x-1)/(2x+1).(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).

如图,已知:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB = 90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= ,M是 CC1 的中点.求证AB1⊥A1M.