问答题(2020年全国Ⅲ(文)2020年全国Ⅲ(理)

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2  = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.

(1) 求 C 的方程;

(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

答案解析

(1) 由题设可得 ,得 m2=25/16 , 所以 C 的方程为x2/25 + y2/(25/16) = 1.(2) 设 P (xP , yP ), Q(6, yQ), 根据对称性可设 yQ > 0, 由题意知 yP > 0.由已知可得 B(5, 0), 直线 BP 的方程为 y=-1/yQ (x-5) , 所以 |BP| = yP , |BQ| = .因为 |BP| = |BQ|, 所以 yP = 1, 将 yP = 1 代入 C 的方程, 解得 xP = 3 或 −3.由直线 BP 的方程得 yQ = 2 ...

查看完整答案

讨论

已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(3/2,-1)两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足(MT)→=(TH)→.证明:直线HN过定点.

已知椭圆: E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2√3.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时,求k的值.

如图,已知椭圆x2/12+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,1/2)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C,D两点. (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点,M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上,求点M的坐标;(2)直线l交y轴于点B,直线AM经过点F2,若△ABM有一个内角的余弦值为3/5,求b;(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d,且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6,当a变化时,求d的最小值.

已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点,A为右顶点,B为上顶点,|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e;(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M,直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1,点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内,过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E,与椭圆的辅助圆交于点F,椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G,过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4,则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3,则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6,则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12,则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【 】

英:Find the equations to the tangents to the ellipse 3x²+ y² = 3, inclined at angle of 45° to the axis of x.汉:求椭圆 3x²+y²=3之与x轴夹角为 45°的切线方程.

Find the locus of the point of intersection of lines drawn through the foci of an ellipse parallel to conjugate diameters.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C,左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)点P在椭圆E的第一象限上运动,直线PD与直线BC交于点M,直线AP与直线y=-2交于点N.求证:MN//CD.

已知A(0,3)和P(3,3/2)为椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)上两点.(1)求椭圆C的离心率;(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1,圆x2 + y2=4,从圆上一点作椭圆的切点弦,求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长。

已知菱形的一对内角各为60°,边长为4,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60°角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设P点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为θ1,θ2,试就下列情形分别求P之轨迹.(1).tanθ1+tanθ2 为一定值.(2).cotθ1+cotθ2 为一定值.