高中数学-高考试题(北京市 2023年椭圆)

问答题（2023年北京市）

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

答案解析

(1)依题意得e=c/a=√5/3，则c=√5/3 a,∵A,C分别为椭圆的上、下顶点，且|AC|=4，∴2b=4，即b=2，∴a²-c²=b²=4，即a²-5/9 a²=4/9 a²=4，则a²=9,∴椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1，所以A(0,2),C(0,-2),B(-3,0),D(3,0),因为P为椭圆在第一象限上的动点，可设P(m,n)(0<m<3,0<n<2)，则m²/9+n²/4=1.易知：kBC=(0+2)/(-3-0)=-2/3，则直线BC的方程为y=-2/3 x-2，kPD=(n-0)/(m-3)=n/(m-3)，则直线PD的方程为y=n/(m-3)(x-3)，两者联立得，解得，即M...

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讨论

圆锥曲线

已知双曲线C的中心坐标为原点，左焦点为(-2√5,0)，离心率为√5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

已知抛物线C:y²=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3距离为5，则|MF|=【】

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

椭圆C与椭圆(x-3)2/9+(y-2)2/4=1关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是【】

椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1 |是|PF2 |的【】

已知两点M(1,5/4),N(-4,-5/4)，给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是【】

设椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F1右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是________.

如图，给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

椭圆x2/9+y2/4=1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是____________.

设B是椭圆C:x2/5+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为【】

椭圆

已知椭圆E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B,C，直线AB,AC交y=-3于点M,N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为(2√5)/5，且|BF|=√5.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P，若MP//BF，求直线l的方程.

求椭园25x2+9y2=100的长轴和短轴的长、焦点坐标，并且画出它的图像。

已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长。

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时，比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为1/2．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1，点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内，过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E，与椭圆的辅助圆交于点F，椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G，过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4，则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3，则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6，则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12，则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【】

英：Find the equations to the tangents to the ellipse 3x²+ y² = 3, inclined at angle of 45° to the axis of x.汉：求椭圆 3x²+y²=3之与x轴夹角为 45°的切线方程.

Find the locus of the point of intersection of lines drawn through the foci of an ellipse parallel to conjugate diameters.

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

平面解析几何

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1)，则|a→ |²-|b→ |²=【】

在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则∠C=【】

已知向量|a➝ |=1,|b➝ |=2，且a➝,b➝的夹角为120°.若a➝+tb➝与ta➝+b➝的夹角为锐角，则t的取值范围是__________.

已知在△ABC中，a=2b,cosB=2√2/3，则sin⁡(A-B)/2+sin⁡C/2=__________.

过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=【】

如果AC < 0，且BC < 0，那么直线Ax + By + C = 0不通过【】

圆x2 + 2x + y2 + 4y - 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离为的点共有【】个。

点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是【】

圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是【】

已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是【】