高中数学-高考试题(北京市 2023年椭圆)

问答题（2023年北京市）

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

答案解析

(1)依题意得e=c/a=√5/3，则c=√5/3 a,∵A,C分别为椭圆的上、下顶点，且|AC|=4，∴2b=4，即b=2，∴a²-c²=b²=4，即a²-5/9 a²=4/9 a²=4，则a²=9,∴椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1，所以A(0,2),C(0,-2),B(-3,0),D(3,0),因为P为椭圆在第一象限上的动点，可设P(m,n)(0<m<3,0<n<2)，则m²/9+n²/4=1.易知：kBC=(0+2)/(-3-0)=-2/3，则直线BC的方程为y=-2/3 x-2，kPD=(n-0)/(m-3)=n/(m-3)，则直线PD的方程为y=n/(m-3)(x-3)，两者联立得，解得，即M...

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讨论

圆锥曲线

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A、B两点，交双曲线的渐近线与C、D两点,若|CD|=√2|AB|，则双曲线的离心率为【】

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为(2√5)/5，且|BF|=√5.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P，若MP//BF，求直线l的方程.

如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2. (1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，斜率为2的直线l与MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N，且|RN|2=|PN|∙|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.

求椭园25x2+9y2=100的长轴和短轴的长、焦点坐标，并且画出它的图像。

已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长。

已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.

已知二次函数y=x2﹣6x+5.(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时，比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则【】

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为1/2．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．

椭圆

已知椭圆x2/6+y2/3=1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则直线l的方程为___________．

椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为1/4，则C的离心率为【】

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的离心率为1/3，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若(BA1)⋅(BA2)=-1，则C的方程为【】

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),B(3/2,-1)两点．（1）求E的方程；（2）设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足(MT)→=(TH)→．证明：直线HN过定点.

已知椭圆： E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值．

如图，已知椭圆x2/12+y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,1/2)在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C，D两点．（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求|CD|的最小值．

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点，M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上，求点M的坐标；(2)直线l交y轴于点B，直线AM经过点F2，若△ABM有一个内角的余弦值为3/5，求b；(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d，且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6，当a变化时，求d的最小值.

已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动，且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值?若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由.

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M，直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1，点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内，过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E，与椭圆的辅助圆交于点F，椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G，过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4，则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3，则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6，则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12，则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【】

平面解析几何

若斜率为√3的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切与点B，则|AB|=_______.

一条直线过点(1，-3)，并且与直线2x+y-5=0平行，求这条直线的方程.

写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程________________．

已知点A(2,1)在双曲线C:x2/a2 -y2/(a2-1)=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan⁡∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．

已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则【】

已知点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a的对称直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为________．

设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±√3 x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ//AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

若双曲线y2-x2/m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________．

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．

设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．