问答题(2021年浙江省

如图,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.

 

(1)求抛物线的方程;

(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,斜率为2的直线l与MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且|RN|2=|PN|∙|QN|,求直线l在x轴上截距的范围.

答案解析

(1)∵|MF|=2,故p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.(2)设AB:x=ty+1,A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),N(n,0)所以直线l:x=y/2+n,由题设可得n≠1,t≠1/2.由得y2-4ty-4=0,∴y1+y2=4t,y1 y2=-4.∵|RN|2=|PN|∙|QN|,∴(|yR |)2=|yP |∙|yQ |,即yR2=|yP |∙|yQ |.又MA:y=y1/(x1+1)(x+1),由得yP=(2(n+1)y1)/(2x1+2-y1 ),同理yQ=(2(n+1)y2)/(2x2+2-y2 ),由得yR=(2(n-1))/(2t-1),所以[2(n-1)/(2t-1...

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